Si $A$ es un derecho $R$ -y $B$ es una izquierda $R$ -entonces el producto tensorial $A\otimes_R B$ es un objeto $X$ con un mapa $\theta:A\times B\rightarrow X$ tal que $\theta$ es $R$ -bilineal y $\theta(ar,b)=\theta(a,rb)$ para todos $a\in A, b\in B, r\in R$ ; además la pareja $(X,\theta)$ tiene la siguiente propiedad universal. Si $X'$ es un objeto y $\theta':A\times B\rightarrow X'$ es $R$ -bilineal con $\theta'(ar,b)=\theta'(a,rb)$ entonces hay un único $g:X\rightarrow X'$ tal que $\theta\circ g=\theta'$ .
En algunos libros, el producto tensorial $A\otimes_R B$ se define como un grupo abeliano $X$ con mapa $\theta$ que satisfagan las propiedades universales antes mencionadas. Mientras que en algunos libros se define como un $R$ -módulo $X$ con un mapa $\theta:A\times B\rightarrow X$ que satisfagan las propiedades universales anteriores.
¿Cuál es la elección apropiada para el producto tensorial, como módulo o sólo como grupo abeliano?
Si lo aceptamos como grupo abeliano, entonces podemos darle una izquierda $R$ -estructura modular o derecho $R$ -por lo que me parece que debería considerarse únicamente como grupo abeliano (junto con el mapa $\theta$ ).
Mientras que, los lugares, donde el producto tensorial se define como un módulo, no mencionan si se deja $R$ -módulo o derecho $R$ -módulo.
Para definir el producto tensorial, necesitamos tomar una izquierda $R$ -y un derecho $R$ -por lo que no podemos definir el producto tensorial como un objeto universal dentro de una categoría de izquierda. $R$ -módulos o dentro de la categoría de algún derecho $R$ -módulos.
En el escrito anterior, $\theta$ puede decirse que es un mapa equilibrado; y el producto tensorial se define como un objeto con un mapa equilibrado, que satisface la propiedad universal.
Pero mi pregunta se refiere a cuál debe ser el objeto allí; si debe ser sólo grupo abeliano de $R$ -¿Módulos?
