El par de números complejos $w_1 = a + ic$ y $w_2 = b + id$ satisface $|w1| =1$ , $|w2| = 1$ y $\Re\left(w_1\overline{w_2}\right) =0$

Question

Si $z_1=a + ib$ y $z_2 = c + id$ son números complejos tales que $\left|z_1\right| = \left|z_2\right| = 1$ y $\Re\left(z_1\overline{z_2})\right)=0$ entonces Demuestra que el par de números complejos $w_1 = a + ic$ y $w_2 = b + id$ satisface $\left|w_1\right| =1$ , $\left|w_2\right| = 1$ y $\Re\left(w_1\overline{w_2}\right) =0$

Answer 1

Desde $w_2\bar{w}_2=|w_2|^2=1$ obtenemos que $\mathrm{Re}(w_1\bar{w}_2)=\mathrm{Re}(w_1/w_2)=0$ y por lo tanto, $w_1/w_2=\pm i$ desde $|w_1/w_2|=1$ .

Así que $w_1=a+ic$ puede ser cualquier número complejo de forma que $a^2+c^2=1$ y $w_2=\pm(c-ia)$ .

Answer 2

La condición sobre $z_1, z_2$ dice que $a^2 + b^2 = c^2 + d^2 = 1, $ y $z_1 = \pm i z_2.$ Así que, o bien $a = d, b = c$ o $a = -d, b = -c.$ Esto demuestra que $a^2 + c^2 = a^2 + b^2 = c^2 + d^2 = b^2 + d^2 = 1,$ y que $w_1 = \pm i w_2.$