Sea $f$ aumentar en $[a,b]$ y $a < x_1 < \dotsb < x_n < b$ . Demuestre que $\sum_{k = 1}^n [f(x_k^+) - f(x_k^-)]\leq f(b^-) - f(a^+)$ .

Question

Sea $f$ sea una función creciente definida en $[a,b]$ y que $x_1 < x_2 < \dotsb < x_n$ sea $n$ puntos en el interior de $[a,b]$ . Demuestre que $\sum_{k = 1}^n [f(x_k^+) - f(x_k^-)]\leq f(b^-) - f(a^+)$ .

Las pruebas que tengo son muy escuetas y vagas. Sé que sería más fácil si pudiera encontrar una suma telescópica pero tengo un bloqueo en mi mente. :/

Answer 1

En primer lugar, defina $x_0 = a$ y $x_{n+1}=b$ . Entonces, para cualquier $k=1,\ldots,n$ tenemos $$ f(x_k +)-f(x_k -) \leq f\bigg(\frac{{x_k + x_{k + 1} }}{2}\bigg) - f\bigg(\frac{{x_{k - 1} + x_k }}{2}\bigg) $$ (ya que $f$ aumenta). Por lo tanto, $$ \sum\limits_{k = 1}^n {[f(x_k + ) - f(x_k - )]} \le f\bigg(\frac{{x_n + x_{n + 1} }}{2}\bigg) - f\bigg(\frac{{x_0 + x_1 }}{2}\bigg). $$ Ahora bien, puesto que $(x_n + x_{n + 1} )/2 = (x_n + b)/2 < b$ y $(x_0 + x_1 )/2 = (a + x_1)/2 > a$ obtenemos $$ \sum\limits_{k = 1}^n {[f(x_k + ) - f(x_k - )]} \le f(b-) - f(a+). $$