Cómo encontrar $\det(B)$

Question

$A$ sea $3×3$ matriz cuyas raíces características son $3,2,-1$ y $B=A^{2}-A$ entonces cómo encontrar $\det(B)$ . ¿Alguien puede darme una pista? Conozco la ecuación característica de $A$ es ${A^{3}-4A^{2}+A+6I=0}$ cómo hallar la ecuación característica de $B$ para poder obtener su término constante que es $\det(B)$

Answer 1

$B = A(A-I)$ y debería poder encontrar $|A - I|$ diagonalizando $A$ .

Answer 2

Basta con aplicar el teorema

Si para la matriz $A$ el valor propio es $\lambda$ entonces para el polinomio $p(A)$ el valor propio es $p(\lambda)$ .

En su caso $p(A)=A^2-A$
así que
$p(3)=3^2-3, \ \ \ p(2)=2^2-2, \ \ \ p(-1)=(-1)^2+1$ .

Con valores propios de $p(A)$ el determinante es igual al producto de todos estos valores propios (con multiplicidades si sucede).