Fórmula para descomponer un formulario en $(p,q)$ formularios

Question

Dejemos que $L: \mathbb{C}^n \to \mathbb{C}$ sea un mapa lineal real. En otras palabras, $L(a\vec{v}_1+b\vec{v_2}) = aL(\vec{v}_1)+bL(\vec{v}_2)$ para todos $a,b \in \mathbb{R}$ . Entonces $L$ se descompone de forma única en un complejo lineal $T$ y un mapa antilineal complejo $\overline{T}$ . Tienen las fórmulas

$$ \begin{align*} T(\vec{v}) &= \frac{1}{2}\left( L(\vec{v}) - i L(i\vec{v})\right) \\ \overline{T}(\vec{v}) &= \frac{1}{2}\left( L(\vec{v}) + iL(i\vec{v})\right) \end{align*} $$

Un verdadero $k-$ forma lineal $\omega:(\mathbb{C}^n)^k \to \mathbb{C}$ puede descomponerse igualmente en una suma de formas $\omega^{(p,q)}$ para lo cual $\omega^{(p,q)}(z\vec{v}_1,z\vec{v}_2,...,z\vec{v}_k) = z^p\overline{z}^q\omega^{(p,q)}(\vec{v}_1,\vec{v}_2,...,\vec{v}_k)$ .

Cuando se aplica esta construcción a las formas diferenciales, se obtiene la llamada $(p,q)-$ formas, que son muy importantes en la geometría compleja.

Tengo una pregunta de álgebra lineal, o quizás de combinatoria. ¿Cuál es la fórmula para $\omega^{(p,q)}$ en términos de $\omega$ ? Por ejemplo, he descubierto que

$$ \omega^{(1,1)}(\vec{v}_1,\vec{v}_2) = \frac{1}{2}\left(\omega(\vec{v}_1,\vec{v}_2)+\omega(i\vec{v}_1,i\vec{v}_2)\right) $$

Tengo un tipo de fórmula similar para $\omega^{(2,0)}$ pero es bastante feo, y depende de obtener primero la fórmula anterior.

¿Alguien tiene una fórmula bonita para $\omega^{p,q}$ en términos de $\omega$ ?

Además, la prueba que conozco de que esta descomposición se mantiene depende mucho de la base. ¿Alguien tiene una prueba limpia sin bases? Tal vez alguien con un mejor manejo del álgebra tensorial pueda ayudarme.

También puede ser que quieras mirar esta pregunta ¿Cuándo es un $k$ -formar una $(p, q)$ -¿forma? para más información.

Answer 1

Primero describo una construcción general de proyecciones equivariantes. Dejemos que $G$ sea un grupo abeliano finito, $V$ un espacio vectorial complejo (de dimensión finita) y $\rho: G\to GL(V)$ una representación. Dado que $G$ es abeliano y $V$ es un espacio vectorial complejo, la representación $\rho$ es "simultáneamente diagonalizable", es decir, existe una lista finita de caracteres (distintos) $\chi_1,...,\chi_k: G\to {\mathbb C}^*$ y un $G$ -descomposición de la suma directa invariante $$ V=\oplus_{j=1}^k V_{\chi_j} $$ tal que $G$ actúa en cada $V_{\chi_j}$ a través del personaje $\chi_j$ : $$ \rho(g)(v)=\chi_j(g)v, \forall v\in V_{\chi_j}, j=1,...,k. $$ Para cada $\ell=1,...,k$ , defina lo siguiente $G$ -proyección equivariante: $$ R_\ell: V\to V_{\chi_\ell}, R_\ell(v)= \frac{1}{|G|} \sum_{g\in G} \chi_\ell^{-1}(g)\rho(g)(v). $$ Esta proyección fija $V_{\chi_\ell}$ en el sentido de la palabra. Dado que $R_\ell$ es $G$ -equivariante, preserva cada sumando $V_{\chi_j}$ y, por tanto, desaparece en $$ \oplus_{j\ne \ell}^k V_{\chi_j}. $$

Ahora, consideramos el caso en que $V$ es la complejización del espacio vectorial $V_{\mathbb R}$ del real exterior formularios $\phi: \wedge^n W\to {\mathbb R}$ , donde $W$ es un espacio vectorial complejo. (Un procedimiento similar funcionará para tensores arbitrarios, pero será un poco más complicado y, además, creo que la motivación proviene de las formas diferenciales en variedades complejas). Definir el grupo $$ G=\oplus_{m=1}^n {\mathbb Z}_4. $$ Su orden es, por supuesto, $4n$ . Denotaré el generador de la $m$ -ésima suma directa de $G$ por $g_m$ . Defino una representación $\rho$ de $G$ en $V_{\mathbb R}$ (y, por tanto, en $V$ ), por
$$ \rho(g_m)(\phi(z_1,...z_m,...,z_n))= \phi(z_1,..., i z_m,..., z_n). $$ Entonces $V$ tiene el $G$ -descomposición invariante $$ \oplus_{p=0}^{n} V^{p,q}, $$ donde $p+q=n$ y cada $V^{p,q}$ no es más que $V_{\chi_{p,q}}$ , donde
$$ \chi_{p,q}(g_m)= i, 1\le m\le p, $$ $$ \chi_{p,q}(g_m)= -i, p+1\le m\le p+q. $$ Aquí, como nuestras formas son antisimétricas, puedo asumir sin pérdida de generalidad que cualquier $\omega\in V^{p,q}$ es complejo-lineal en la primera $p$ variables y antilíneas complejas en el último $q$ variables (cada variable, por supuesto, es un vector en $W$ ).

Así, para cada $(p,q)$ , $p+q=n$ como en el caso anterior, obtenemos la proyección $$ R_{p,q}: V\to V^{p,q} , $$ cuyo núcleo es $$ \oplus_{r\ne p} V^{r,q}. $$ La proyección se define mediante la fórmula: $$ R_{p,q}(\omega)= \frac{1}{4n} \sum_{g\in G} \overline{\chi_{p,q}}(g)\rho(g)(\omega). $$ Ahora, si lo desea, puede escribir esto con más detalles utilizando las definiciones de $\chi_{p,q}$ y $\rho$ que se ha dado anteriormente, pero me parece que la fórmula anterior es la más transparente. Una ventaja es que la fórmula y su demostración son independientes de la elección de las coordenadas.