Sea $k$ sea un campo y $R$ sea el anillo $k[x,xy,xy^2,xy^3]$ . Sea $X$ sea $\operatorname{Spec}(R)$ y $\tilde{X}$ sea la ampliación de $X$ a lo largo del ideal máximo $I$ de $R$ generado por $x,xy,xy^2,xy^3$ He demostrado que $\tilde{X}$ es un haz de líneas sobre $\mathbb{P}^1_k$ para que el $G$ -grupos teóricos de $\tilde{X}$ de acuerdo con el $G$ -grupos teóricos de $\mathbb{P}^1_k$ . Estoy intentando calcular el $G$ -grupos teóricos de $X$ utilizando la secuencia exacta larga inducida por el cuadrado de expansión asociado a $X$ y $I$ que es $\cdots\rightarrow G_n(\mathbb{P}^1)\rightarrow G_n(k)\oplus G_n(\tilde{X})\rightarrow G_n(X)\rightarrow G_{n-1}(\mathbb{P}^1)\rightarrow\cdots$ . Hasta ahora, sólo he conseguido demostrar que el mapa $G_0(\mathbb{P}^1)\rightarrow G_0(k)$ envía la clase de la gavilla de estructura de $\mathbb{P}^1$ a la clase de $k$ y envía la clase de la gavilla retorcida $O(-1)$ a 0. Tenga en cuenta que $G_0(\mathbb{P}^1)$ es el grupo abeliano libre basado en las clases de $O$ y $O(-1)$ Así que conozco el mapa $G_0(\mathbb{P}^1)\rightarrow G_0(k)$ . Pero no sé cómo calcular los mapas $G_n(\mathbb{P}^1)\rightarrow G_n(k)$ para todos $n\geq 1$ y los mapas $G_n(\mathbb{P}^1)\rightarrow G_n(\tilde{X})$ para todos $n\geq 0$ . ¿Podría alguien ayudarme con este problema? Muchas gracias de antemano.
Respuesta
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Si $\tilde{X}$ es el espacio total de un haz de líneas $L$ y $i \colon \mathbb{P}^1 \to \tilde{X}$ es la incrustación de la sección cero existe una secuencia exacta $$ 0 \to p^* L^\vee \to \mathcal{O}_{\tilde{X}} \to i_* \mathcal{O}_{\mathbb{P}^1} \to 0.\tag{*} $$ Si se tensa con $p^*F$ y observe que $$ p^*F \otimes i_* \mathcal{O}_{\mathbb{P}^1} \cong i_*i^*p^*F \cong i_*F $$ (por fórmula de proyección) se obtiene una secuencia exacta $$ 0 \to p^*(F \otimes L^\vee) \to p^* F \to i_* F \to 0. $$ Esto nos da una expresión para el mapa $i_*$ en términos de mapa $p^*$ .
EDITAR. Permítanme explicar la secuencia $(*)$ . La variedad $\tilde{X}$ es suave y $Z = i(\mathbb{P}^1) \subset \tilde{X}$ es un divisor de Cartier. Por lo tanto, el ideal $I_Z$ es un haz de líneas.
Por otra parte, cada haz de líneas en $\tilde{X}$ es el pullback de un haz de líneas a través de $p$ . Por lo tanto, para identificar $I_Z$ basta con comprender su restricción a $Z$ . Tenemos $$ I_Z\vert_Z = \mathcal{O}_{\tilde{X}}(-Z)\vert_Z = \mathcal{O}_Z(-Z) = \mathcal{O}_Z(3), $$ porque el haz normal de $Z$ es $\mathcal{O}(-3)$ . Así $$ I_Z \cong p^*\mathcal{O}(3), $$ y la secuencia $(*)$ no es más que la resolución Koszul de $\mathcal{O}_Z$ .
