Supongamos que $f:[a,b] \to \mathbb R$ es una función continuamente diferenciable. Queremos demostrar que $\int^b_a f^3(x)dx \le ( \int^b_a f(x)dx )^2$ si tenemos $f(a)=0$ y $0 \le f'(x) \le 1$ para todos $x \in [a,b]$ .
Mi intento:
No sé si mi planteamiento es correcto, pero empecé cambiando los límites superiores de las integrales por una variable $y$ para poder diferenciar y obtener $f'$ . Después de cambiar los límites superiores, quiero mostrar
$$( \int^y_a f(x)dx )^2 - \int^y_a f^3(x)dx \ge 0$$
para $y \in [a,b]$ . Esto es válido para $y=a$ . Así que ahora voy a demostrar que la derivada de LHS w.r.t. $y$ es positivo. Es decir, quiero mostrar
$$2f(y)(\int^y_a f(x)dx) - f^3(y) \ge 0$$
De nuevo, esto es válido para $y=a$ desde $f(a)=0$ . Y vuelvo a tomar la derivada y quiero demostrar que es positiva. La derivada es
$$2f'(y)(\int^y_a f(x)dx) +2f^2(y)-3f^2(y)f'(y)$$
No pude deshacerme de la integral y estoy atrapado aquí. Podéis ayudarme proponiendo otro enfoque o dando una solución?
