La solución de la ecuación de Poisson 2D: $$ \frac{\partial^2 V}{\partial x^2}+\frac{\partial^2 V}{\partial y^2}=\delta(x-x_s)\delta(y-y_s) \tag{*} $$ sometida a la condición de contorno $V(\infty)=0$ es: $$ G(x,y)=\frac{1}{2\pi}\ln|r-r_s| $$ Pregunta: ¿Cuál es la solución de (*) sometida a las siguientes condiciones de contorno? $$ V(x\to\pm\infty)=0\\ V(y\to-\infty)=0\\ \frac{\partial V}{\partial y}\left|_{y=0}\right.=0 $$
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Dylan
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Como sigue habiendo confusión, escribiré aquí la solución
$$ V = \frac{1}{2\pi}\left(\ln\sqrt{(x-x_s)^2+(y-y_s)^2} + \ln\sqrt{(x-x_s)^2+(y+y_s)^2}\right) $$
El primer término es la función de Green en el espacio libre. El segundo término es la misma función de Green pero su fuente puntual es $(x_s,-y_s)$
Esta página ofrece una explicación más detallada del método de las imágenes (y también de cómo aplicar la función de Green). El ejemplo del semiplano que se muestra allí es para un límite de Dirichlet, pero se puede deducir fácilmente un límite de Neumann cambiando el signo.
Puntos clave:
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La función de Green reflejada $G^*=G(x-x_s,y+y_s)$ es armónico en el dominio de interés, ya que su fuente puntual está fuera del dominio.
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La diferencia de $G-G^*$ es impar a través de la frontera, y por lo tanto es Dirichlet.
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La suma de $G+G^*$ es incluso a través de la frontera, y por lo tanto es Neumann.
Empecé a trabajar en esta respuesta después de ver el comentario de Dylan y el siguiente comentario de A Slow Learner, por lo que me quedé un poco descolocado con la respuesta del propio Dylan (que sin embargo se centra más en el método de la imagen para construir las funciones de Green): sin embargo creo que puede ser útil ver cómo se obtiene la respuesta, y por eso he decidido ofrecer un desarrollo(n) casi completo a continuación.
La función de Green $\mathscr{G}_N(x-x_s,y-y_s)$ para el problema de Neumann para la ecuación de Poisson (*) en el medio plano inferior es la solución del siguiente problema de valor límite de Dirichlet: $$ \begin{cases} \Delta \mathscr{G}_N(x-x_s,y-y_s)=\delta(x-x_s,y-y_s),\quad (x,y),(x_s,y_s)\in \mathbb{R}\times\mathbb{R}^-\\ \frac{\partial\mathscr{G}_N}{\partial y}(x-x_s,-y_s)=0 \end{cases}.\tag{1}\label{1} $$ Tenga en cuenta que $\frac{\partial\mathscr{G}_N}{\partial\mathbf{n}}=\frac{\partial\mathscr{G}}{\partial y}$ en la frontera $\{y=0\}$ del plano medio inferior.
Según Vladimirov ((1983) §29.1, p. 368)), la solución general del problema \eqref{1} tiene la siguiente forma $$ \mathscr{G}_N(x-x_s,y-y_s)=\frac{1}{2\pi}\ln|(x,y)-(x_s,y_s)|+g(x-x_s,y-y_s) $$ donde el primer término del lado derecho es el solución fundamental del laplaciano mientras que la segunda es una función armónica en el conjunto $\mathbb{R}\times\mathbb{R}^-$ . En el problema planteado por el OP, $$ \mathscr{G}_N(x-x_s,y-y_s)=\frac{1}{2\pi}\big(\ln|(x,y)-(x_s,y_s)|+\ln|(x,y)-(x_s,-y_s)|\big).\tag{2}\label{2} $$ Desde $\frac{\partial\mathscr{G}_N}{\partial\mathbf{n}}=\frac{\partial\mathscr{G}_N}{\partial y}$ para el problema \eqref{1}, por nada que $$ \begin{split} \frac{\partial}{\partial y}\frac{1}{2\pi}\ln|(x,y)-(x_s,y_s)|& =\frac{\partial}{\partial y}\frac{1}{2\pi}\ln\sqrt{(x-x_s)^2+(y-y_s)^2}\\ &=\frac{1}{\pi}\frac{y-y_s}{(x-x_s)^2+(y-y_s)^2}, \end{split} $$ es fácil comprobar que la función \eqref{2} resuelve el problema \eqref{1} y , por Fórmula de Green resuelve el problema general de Neumann para la ecuación de Poisson 2D en el semiplano.
[1] Vladimirov, V. S. (1983)[1970], Ecuaciones de física matemática Moscú: Mir Publishers, 2ª ed., pp. 464, MR0764399, Zbl 0207.09101 (la reseña de Zbmath se refiere a la primera edición inglesa).
