Estoy intentando definir una incrustación cuyo rango incluya clases. ¿Existe alguna forma coherente de asignar "cardinalidad" a las clases propiamente dichas?
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
Erin, no hay necesidad de hacer esto. No conozco ninguna razón práctica para hacerlo. Y, por supuesto, "cardinalidad" debe interpretarse correctamente para que la palabra tenga algún sentido.
En las extensiones de la teoría de conjuntos donde se permiten las clases (no sólo formalmente como en ZFC, sino como objetos reales como en MK o GB), a veces se sugiere añadir un axioma (debido a Von Neumann, creo) que establece que dos clases cualesquiera están en biyección entre sí. Según este axioma, la "cardinalidad" de una clase propia sería ORD, la clase de todos los ordinales. (Por cierto, por forzamiento de clase, dada cualquier clase propia, se puede añadir una bijección entre la clase y ORD sin añadir conjuntos, por lo que este supuesto no tiene implicaciones para la teoría de conjuntos propiamente dicha).
Sin asumir el axioma de Von Neumann, o el axioma de elección, no conozco ninguna forma sensata de dar sentido a esta noción, ya que ahora podríamos tener algunas clases propias más "delgadas" que otras, o incluso incomparables. Por supuesto, podríamos estudiar modelos en los que esto ocurra (por ejemplo, trabajar en ZF, suponer que hay un fuerte inaccesible $\kappa$ y considere $V_\kappa$ como el universo de conjuntos, y $Def(V_\kappa)$ en el sentido de Gödel (o incluso $V_{\kappa+1}$ ) como la colección de clases).
