Intentar evaluar $\int \frac{1}{\sin(x)\cos^3(x)} \,dx$ y se quedó atascado

Question

Por lo tanto, estoy tratando de evaluar la siguiente antiderivada:

$$\int \frac{1}{\sin(x)\cos^3(x)} \,dx$$

He llegado a un punto en el que tengo lo siguiente:

$$\int \frac{\sin(x)}{\cos^3(x)} + \frac{1}{\sin(x)\cos(x)} \,dx$$

Mi idea ahora es calcular dos antiderivadas separadas a partir de aquí. Estoy usando wolfram alfa para tratar de ayudarme a resolver la anti derivada btw. pero cuando pongo en Wolfram esta anti derivada:

$$\int \frac{1}{\sin(x)\cos(x)} \,dx$$

el resultado no es el mismo que:

$$\int \frac{\sin^2(x)+\cos^2(x)}{\sin(x)\cos(x)} \,dx$$

¿Por qué? ¿Cómo puedo resolver esta integral indefinida?

Answer 1

Puede utilizar el hecho de que $$\int\frac{\sin(x)}{\cos^3(x)}\,\mathrm dx=-\frac{\cos^{-2}(x)}{-2}=\frac1{2\cos^2(x)}$$ y que \begin{align}\int\frac1{\sin(x)\cos(x)}\,\mathrm dx&=\int\frac{\sin(x)}{(1-\cos^2(x))\cos(x)}\,\mathrm dx\\&=-\log|\cos x|+\frac12\log(1-\cos^2(x))\\&=-\log|\cos x|+\log|\sin x|\\&=\log|\tan x|.\end{align}

Answer 2

Escribe la integral como $$\int \sec^3(x)\csc(x)\,dx$$ Realice la sustitución $u=\tan x$ entonces $du=\sec^2(x) \,dx$ y es $$\int \sec(x)\csc(x)\,du$$ $$\int u+\frac{1}{u}\,du ~~~~ \text{(why?)}$$ ¿Puedes terminar?

Answer 3

Con vuestras magníficas respuestas he podido evaluar esta integral de la siguiente manera:

$$ \int \frac{1}{\sin(x)\cos^3(x)} \,dx = \int \sec^3(x)\csc(x) \,dx =\\ \int \sec(x)\csc(x) \sec^2(x) \,dx = \int \frac{1}{\cos(x)\sin(x)} \sec^2(x) \,dx = \\ \int \frac{\sin^2(x)+\cos^2(x)}{\cos(x)\sin(x)} \sec^2(x) \,dx = \int \frac{\sin(x)}{\cos(x)} + \frac{\cos(x)}{\sin(x)} \sec^2(x) \,dx = \\ \int \tan(x) +\cot(x) \sec^2(x) \,dx = \int \tan(x) + \frac{1}{\tan(x)} \sec^2(x) \,dx\\ u=\tan(x)\\du=\sec^2(x)dx\\ \int u +\frac{1}{u} \,du = \frac{u^2}{2}+\ln|u|+c =\\ \frac{1}{2}\tan^2(x)+\ln|\tan(x)| +c $$

Gracias a todos por vuestras útiles respuestas y comentarios.