Esto debería realmente no es una respuesta, sino un comentario -véase el final para saber por qué-, pero es demasiado largo para eso. Espero que no sea demasiado decepcionante.
Esta es una gran pregunta, pero, por supuesto, es difícil precisar las cosas aquí. (En concreto: ¿cuál sería un argumento convincente de que hay no es Además de ser interesante por sí misma (en mi opinión), creo que es un buen ejemplo de cómo podemos conseguir que cuestiones como ésta sean rigurosas, y de algunas de las dificultades con las que nos encontramos al intentarlo.
En concreto, ésta es la versión de la pregunta que quiero considerar; a continuación, intentaré justificar por qué Planteo la pregunta de este modo, a continuación.
¿Existe un modelo de inducción abierta que satisfaga "Hay infinitos primos" pero no satisfaciendo "Cada número $>1$ tiene un divisor primo"?
Aquí, un "modelo de inducción abierta" es equivalentemente (i) los elementos positivos de un parte entera de un campo real cerrado, o (ii) un sembrado ordenado que satisface la inducción para sin cuantificador ("abiertas"). Básicamente, los números naturales $(\mathbb{N}; +, \times, <)$ satisfacen el sistema axiomático extremadamente fuerte de (primer orden) Aritmética de Peano (PA) ; pero cuando estamos interesados en lo que es necesario para demostrar qué, podemos "estratificar" la AP en subteorías más pequeñas, y observar lo que estas subteorías demuestran o no demuestran - esto último se estudia buscando modelos extraños . (Como, por ejemplo, una respuesta positiva a la pregunta resaltada más arriba.) Este proceso general forma parte de Matemáticas inversas .
Ahora bien, ¿por qué me he centrado específicamente en inducción abierta ? Bueno, PA se divide en dos partes: los axiomas de sembrado ordenado, $P^-$ y el axiomas de inducción para cada fórmula $\varphi(x,\overline{y})$ tenemos el axioma $I_\varphi$ afirmando que la inducción es válida para $\varphi$ : $$\forall\overline{a}[(\varphi(0,\overline{a})\mbox{ and }\forall n(\varphi(n, \overline{a})\implies\varphi(n+1,\overline{a})))\implies\forall x\varphi(x,\overline{a})].$$ Tomando la estructura algebraica básica proporcionada por $P^-$ por sentado, el lugar natural para empezar a podar son los axiomas de inducción. Es decir, nos fijamos en sistemas de la forma $$I\Gamma=P^-\cup\{I_\varphi: \varphi\in\Gamma\},$$ para $\Gamma$ una clase natural de fórmulas - normalmente una capa en el jerarquía aritmética De hecho, la mayoría de las veces $\Sigma_1$ .
. . . Excepto que $I\Sigma_1$ ya demuestra ambos declaraciones que nos interesan Así que es demasiado fuerte para notar la diferencia. Así que tenemos que ir más débil.
Un candidato natural es $I\Delta_0$ - la inducción se limita a las fórmulas con sólo cuantificadores limitados . Actualmente está abierto si $I\Delta_0$ demuestra la infinitud de los primos; sin embargo hace demostrar muy fácilmente que todo número $>1$ ¡tiene un factor primo! Así que sigue siendo demasiado fuerte para abordar la cuestión.
La inducción abierta es, que yo sepa, la siguiente teoría "natural" más débil que $I\Delta_0$ . Ciertamente hay cosas intermedias, pero -hasta donde yo sé- son bastante técnicas, mientras que la inducción abierta tiene una buena caracterización en términos de para qué fórmulas demuestra la inducción, y una buena caracterización algebraica de sus modelos. En particular, incluso si más tarde decidimos que es la teoría base equivocada para su pregunta específica, la pregunta destacada anteriormente sigue siendo de interés general.
Véase este artículo de Macintyre y Marker para ver algunos ejemplos de cosas raras que se pueden hacer con modelos de inducción abierta.
Como acabo de introducir las Matemáticas Inversas, permítanme cubrir mis bases: ¿por qué es inadecuado este planteamiento? Permítanme señalar algo que el enfoque matemático inverso no detectar. Digamos que tengo una prueba de la infinitud de los primos que utiliza todas las piezas necesarias para obtener una prueba de "Todo número $>1$ tiene un factor primo", pero "reordenado" para que nunca utilicemos realmente esa declaración mismo. Desde un punto de vista matemático inverso -prestando atención sólo a la sobrecarga axiomática - esto todavía cuenta como una prueba usando "Cada número $>1$ ¡tiene un factor primo"! A pesar de que usted podría muy razonablemente aceptarlo como una prueba que hace no .
Lo que quiero decir es que, como en cualquier otro caso, este enfoque formal tiene sus limitaciones a la hora de captar fielmente tu pregunta intuitiva. Dicho esto, espero que te resulte interesante.
¿Cuál es la respuesta?
Esta es la parte realmente incómoda.
Recuerdo haber visto una construcción de un modelo de inducción abierta con infinitos primos, pero que no satisface el TLC débil. Sin embargo, mirando en mis notas, no puedo encontrar el argumento, o una fuente, así que ya no estoy seguro. Sin embargo, recuerdo que tal estructura puede construirse utilizando el mismo tipo de técnicas que en el artículo de Macintyre/Marker.
Por eso esto no debería ser una respuesta: está abordando una versión ultra débil de tu pregunta, y ¡ni siquiera responde a esa versión! Pero espero que hayas encontrado interesante algo de lo anterior, y espero que alguien más entendido en fragmentos de aritmética pueda aclararme algo sobre estos modelos de inducción abierta.
