Coimágenes regulares en una categoría finitamente completa y finitamente cocompleta

Question

Según la nLab en una categoría finitamente completa y finitamente cocompleta $\mathcal{A}$ para cada morfismo $f : A \to B$ existe una coimagen regular y viene dada por el coigualador de $f$ 'par del núcleo.

Una coimagen regular de $f$ es (si no me equivoco) un epi normal $e : A\to E$ a través del cual $f$ factores por algún morfismo $m$ tal que para todos los epis regulares $e' : A\to E'$ a través del cual $f$ por un morfismo $m'$ existe un morfismo (necesariamente único) $k : E'\to E$ tal que $k\circ e' = e$ y $m\circ k = m'$ .

Incluso con el esquema de demostración (del enunciado dual) que se da en el nLab no sé cómo demostrarlo. Tengo dos preguntas, que pueden ser contestadas simultáneamente:

1. ¿Cómo puedo demostrar esta afirmación?
2. ¿Cuál es la suposición "mínima" que hay que hacer con respecto a la existencia de límites y colímites en $\mathcal{A}$ ? En particular: ¿Basta con que sólo existan pares de núcleos y coigualadores de pares de núcleos en $\mathcal{A}$ ?

Answer 1

Sea $p_1, p_2: A\times_B A\rightrightarrows A$ que existen porque el pullback es un límite finito. Sea $A\to E:=\text{coker}(p_1,p_2)$ que existe como colímite del diagrama finito $(p_1,p_2)$ arriba. Por definición, $fp_1=fp_2$ Así que $f$ factores como $A\to E\xrightarrow{f^\prime} B$ para algunos $f^\prime$ .

Supongamos ahora que $g_1, g_2: C\rightrightarrows A\xrightarrow{q} F$ es otro diagrama cokernel regular tal que $f$ factores como $A\to F\xrightarrow{a} B$ . Entonces $q g_1 = qg_2$ implica $fg_1 = aqg_1 = aqg_2 = fg_2$ Así que $(g_1,g_2)$ da lugar a un morfismo $C\to A\times_B A$ que se entrelaza entre $(g_1,g_2)$ y $(p_1,p_2)$ . Por la functorialidad de los colímites, se obtiene un morfismo $F\to E$ que satisface las compatibilidades deseadas.