Lo sé... leer muchas pruebas y comentarios sobre ellas y trabajar duro por mi cuenta para demostrar teoremas son probablemente las únicas buenas soluciones. Pero, al mismo tiempo, no es una solución en absoluto, porque si soy stock o si sólo manipular fórmulas sin entender lo que estoy haciendo, puedo pasar toda mi vida trabajando y leyendo sin ser capaz de demostrar nada ...
Pero, afortunadamente, no soy tan tonto. Sólo tengo el defecto de no ser matemático profesional. En mi actividad de investigación física como estudiante de doctorado, suelo partir de una intuición basada en una vaga visión conceptual del proceso físico. Luego imagino una "solución" basada en esa intuición (en el sentido físico, sólo significa proponer algo que aumente nuestro conocimiento del proceso físico en cuestión). Tengo que acabar con una expresión analítica de la que se puedan extraer intuiciones físicas.
Por desgracia, los físicos no conocen soluciones exactas para la mayoría de los problemas (de todos modos... ¡ya no sería un problema!). Por lo tanto, nuestra estrategia consiste en utilizar aproximaciones (lo siento, no me he inventado ese truco). Así que las reglas del juego son hacer sólo aproximaciones que tengan el menor impacto posible.
Mientras tanto, tenemos mucha flexibilidad, pero nuestra capacidad está limitada por las herramientas matemáticas que tenemos a mano. Por lo general, soy capaz de encontrar soluciones intuitivas y luego intento deducirlas a partir de un primer principio (+ 1 o 2 aproximaciones). Pero a menudo necesito relaciones que creo correctas pero que no están demostradas formalmente o que no puedo encontrar pruebas existentes.
Por ejemplo, me gustaría utilizar esta relación:
$$\bigg( \sum_{i=1}^N a_i x_i \bigg) \bigg( \sum_{j=1}^N a_j x_j \bigg) = \sum_{\{i_n,j_n\}\in S}^{N_S} \bigg( a_{i_n} x_{i_n} +a_{j_n} x_{j_n} \bigg)^2$$
donde $S$ es el conjunto de todos los dobletes distintos de $i_n\in (1,N)$ y $j_n\in (1,N)$ .
Creo que es cierto, porque podemos construir trivialmente.
$$ (1,2,3,...)\otimes(1,2,3,...) = (1,2)\otimes(1,2) + (1,3)\otimes(1,3)+ (2,3)\otimes(2,3) + ...$$ Dónde $(1,2)\otimes(1,2) = \big\{(1,1),(1,2),(2,1),(2,2)\big\}$ .
Parece que es álgebra tensorial básica...
Así que mis preguntas son:
- ¿Estoy totalmente equivocado con este ejemplo?
- ¿Qué técnica de prueba podría utilizar para demostrar o refutar esta relación?
- En general, ¿cuáles son las técnicas de prueba más fundamentales?
- ¿Qué tipo de prueba es más adecuada para cada tipo de problema? (y como corolario, ¿Hay algún tipo de teoremas que no se puedan resolver con algún tipo de pruebas).
- ¿Qué conocimientos me recomendarías aprender para maximizar mi "habilidad para probar a la vez que minimizo el tiempo que dedico a aprender matemáticas? (lo siento, esta semana no tengo tiempo suficiente para aprender miles de años de acumulación de conocimientos).
- ¿Qué conocimientos me recomendaría aprender para mejorar mi capacidad de buscar (¡y encontrar!) pruebas existentes?
