En realidad no puede concluir que $g$ es constante, al menos no si se quiere extender esa afirmación también a $g(0)$ : Para $(*)$ hacer una declaración sobre $g(0)$ es necesario aplicar la ecuación funcional original a $y=\pm x$ es decir, $x^2=y^2$ . Tampoco se da que la ecuación funcional original se mantenga en ese caso, ni podríamos seguir confiando en ella al obtener $(*)$ después de dividir por $x^2-y^2$ ni es $g(x)=\frac{f(x)}{x}$ incluso definido para $x=0$ .
Así que hay que tener cuidado. ¿Quizás haya más trampas escondidas? Veamos.
Sea $k=g(1)$ . Sea $t\ne0$ ser arbitraria. Queremos demostrar $g(t)=k$ . Para ello encuentre $x,y$ con $x+y=t$ y $x-y=1$ es decir, que $x=\frac{t-1}{2}$ , $y=\frac{t-1}{2}$ Entonces $(*)$ muestra $g(t)=g(1)=k$ como desee. Desenrollando todo, se encuentra que $$f(x)=x\cdot (k+x^2)=kx+x^3\qquad \text{for $ x\ne 0 $}.$$ Tenga en cuenta (una vez más) que nohing se puede inferir sobre $f(0)$ . Después de todo, ninguna instancia de la ecuación de la función original es aplicable a $f(0)$ Sin $y=\pm x$ está "prohibido".
Así $f$ es una solución si y sólo si hay constantes $k$ y $y_0$ tal que $$ f(x)=\begin{cases}kx+x^3&\text{if $x\ne 0$}\\y_0&\text{if $x=0$}\end{cases}$$
Puede que no sea necesario indicar que el codominio es $\mathbb R$ pero estrictamente hablando algo sobre el codominio deben exigirse en el enunciado del problema. Para que la ecuación funcional tenga sentido, ciertamente necesitamos que multiplicar elementos del codominio con números reales como ocurre en el lado izquierdo tenga sentido; esto sugiere que el codominio debe ser al menos un $\mathbb R$ espacio vectorial. Además, la diferencia tomada en el lado izquierdo debe producir un número real (lado derecho); por lo que el espacio vectorial debe tener $\mathbb R$ como subespacio. La estructura más sencilla que se ajustaría a esto sería una extensión de campo de $\mathbb R$ (como $\mathbb R$ pero posiblemente también $\mathbb C$ o cualquier otro). Resulta que esto no cambiará el resultado, excepto que cambia dónde elegimos nuestras constantes arbitrarias $k$ y $y_0$ de. (Y también por eso no escribí "si hay costantes $k\in\mathbb R$ y $y_0\in\mathbb R$ tal que"). Si el codominio es $\mathbb C$ podemos elegir $k,y_0\in\mathbb C$ por ejemplo.
Así que aunque la derivación no cambia realmente y el resultado no cambia en su esencia Tienes razón: Para un planteamiento riguroso del problema, debería haberse especificado el codominio.
