Cómo probar el límite de la integral es $\frac{1}{n2^n}$?

Question

Me preguntaba cómo probar que $$\lim_{n\to \infty}\int_{1}^{n}\frac{1}{(x^{2}+1)^{n}}dx\sim \frac{1}{n\cdot 2^{n}}?.$$

Este parece ser asintótica $\frac{1}{n2^{n}}$, pero, ¿cómo demostrarlo?.

He comprobado con más y más grandes valores de n, y se hace más y más a $$\frac{1}{n2^{n}}.$$

yo.e $$\int_{1}^{10}\frac{1}{(x^{2}+1)^{10}}dx\approx .00009843725636$$ y $$\frac{1}{10\cdot 2^{10}}\approx .00009765625.$$

El mayor $n$, el más cerca de ellos.

He intentado utilizar partes fue en vano. También pensé $$\sum_{k=0}^{\infty}\binom{-n}{k}x^{2k}=\frac{1}{(1+x^{2})^{n}}$$ puede ser útil de alguna manera.

¿Alguien tiene una buena idea de cómo probar esto?

Gracias

Answer 1

Desde $\int_2^n {\frac{1}{{(x^2 + 1)^n }}\,{\rm d}x} \le \frac{{n - 2}}{{5^n }}$, es suficiente para mostrar que $$ \frac{1}{{(n + 1)2^n }} \le \int_1^2 {\frac{1}{{(x^2 + 1)^n}}\,{\rm d}x} \le \frac{1}{{(n - 1)2^n }}. $$ De esta manera se sigue directamente de $$ \frac{{2 - x}}{2} \le \frac{1}{{x^2 + 1}} \le \frac{1}{{2x}}. $$

Answer 2

Motivados por la simplicidad de la integración de $0$, en lugar de $1$, sustituyendo $x = 1+u$ da

$$2^n\int_1^n{\frac{dx}{(1+x^2)^n}} = \int_0^{n-1}{\frac{du}{(1+u+u^2/2)^n}}.$$

Buscamos estimaciones--un límite superior y un límite inferior para el integrando, que será fácil de integrar. Dejar caer la "complicada" $u^2/2$ plazo da, obviamente, integrable estimación; continuando con el patrón de $1+u+u^2/2 + \cdots + u^k/k! + \cdots = e^u$ lleva a la otra. La resultante de las desigualdades $1 + u < 1 + u + u^2/2 < e^u$ rendimiento ($n \ge 1$)

$$\eqalign{ \frac{1}{n}\left(1 - e^{-n(n-1)}\right) &= \int_0^{n-1}{e^{-n}du} \cr &\lt \int_0^{n-1}{\frac{du}{(1+u+u^2/2)^n}} \cr &\lt \int_0^{n-1}{\frac{du}{(1+u)^n}} = \frac{1}{n-1}\left(1 - \frac{1}{n^{n-1}}\right) \cr &\lt \frac{1}{n-1}. }$$

Ambas estimaciones son asintóticamente $1/n$, QED.

Answer 3

Divida $\int_{1}^{n}\frac{2^n}{(x^{2}+1)^{n}}dx$ $1$ $1+n^{-2/3}$ y entre el$1+n^{-2/3}$$n$. La segunda parte es menos de $n \left( \frac{2}{(1+n^{-2/3})^2+1}\right)^n$ que es equivalente a $n \exp (n(-n^{-2/3}+o(n^{-2/3}))$ que puede ser descuidado considerando el equivalente vamos a encontrar para la otra parte.

Para la primera parte, utilizamos $\frac{2}{(1+u)^2+1}=1-u+O(u^2)$ $u \rightarrow 0$ a evaluar $\int_0^{n^{-2/3}}\left(\frac{2}{(1+u)^2+1}\right)^n du$. De esta manera conseguimos que los $e^{-nu-Cnu^2} \leq \left(\frac{2}{(1+u)^2+1}\right)^n \leq e^{-nu+Cnu^2}$ para algunas constantes $C \gt 0$, y para todos los $u \in [0,1]$. Así que la primera parte se sitúa entre $e^{-Cn^{-1/3}} \int_0^{n^{-2/3}} e^{-nu} du$$e^{Cn^{-1/3}} \int_0^{n^{-2/3}} e^{-nu} du$, por lo que es equivalente a $\int_0^{n^{-2/3}} e^{-nu} du = \frac{1}{n}(1-e^{-n^{1/3}}) \sim 1/n$.

$n^{-2/3}$ podría ser sustituido por cualquier $\epsilon_n$ tal que $n \epsilon_n \rightarrow + \infty$ $n \epsilon_n^2 \rightarrow 0$

Answer 4

$\newcommand{\+}{^{\daga}}% \newcommand{\ángulos}[1]{\left\langle #1 \right\rangle}% \newcommand{\llaves}[1]{\left\lbrace #1 \right\rbrace}% \newcommand{\bracks}[1]{\left\lbrack #1 \right\rbrack}% \newcommand{\ceil}[1]{\,\left\lceil #1 \right\rceil\,}% \newcommand{\dd}{{\rm d}}% \newcommand{\down}{\downarrow}% \newcommand{\ds}[1]{\displaystyle{#1}}% \newcommand{\equalby}[1]{{#1 \cima {= \cima \vphantom{\enorme}}}}% \newcommand{\expo}[1]{\,{\rm e}^{#1}\,}% \newcommand{\fermi}{\,{\rm f}}% \newcommand{\piso}[1]{\,\left\lfloor #1 \right\rfloor\,}% \newcommand{\mitad}{{1 \over 2}}% \newcommand{\ic}{{\rm i}}% \newcommand{\iff}{\Longleftrightarrow} \newcommand{\imp}{\Longrightarrow}% \newcommand{\isdiv}{\,\left.\a la derecha\vert\,}% \newcommand{\cy}[1]{\left\vert #1\right\rangle}% \newcommand{\ol}[1]{\overline{#1}}% \newcommand{\pars}[1]{\left( #1 \right)}% \newcommand{\partiald}[3][]{\frac{\partial^{#1} #2}{\parcial #3^{#1}}} \newcommand{\pp}{{\cal P}}% \newcommand{\raíz}[2][]{\,\sqrt[#1]{\,#2\,}\,}% \newcommand{\sech}{\,{\rm sech}}% \newcommand{\sgn}{\,{\rm sgn}}% \newcommand{\totald}[3][]{\frac{{\rm d}^{#1} #2}{{\rm d} #3^{#1}}} \newcommand{\ul}[1]{\underline{#1}}% \newcommand{\verts}[1]{\left\vert\, nº 1 \,\right\vert}$ \begin{align} I_{n} \equiv \int_{1}^{n}{\dd x \over \pars{x^{2} + 1}^{n}}&= {n \over \pars{n^{2} + 1}^{n}} - {1 \over 2^{n}} + 2n\int_{1}^{n}{x^{2} \over \pars{x^{2} + 1}^{n + 1}}\,\dd x \\[3mm]&= {n \over \pars{n^{2} + 1}^{n}} - {1 \over 2^{n}} + 2nI_{n} - 2n\int_{1}^{n}{\dd x \over \pars{x^{2} + 1}^{n + 1}} \end{align}

\begin{align} I_{n} &= {n \over \pars{1 - 2n}\pars{n^{2} + 1}^{n}} + \color{#00f}{{1 \over \pars{2n - 1}2^{n}}} + {2n \over 2n - 1}\,\bracks{% I_{n + 1} - \int_{n}^{n + 1}{\dd x \over \pars{x^{2} + 1}^{n + 1}} } \end{align} El $\color{#00f}{\large blue}$ uno es 'el líder término': $$ {1 \over \pars{2n - 1}2^{n}} \sim {1 \over n2^{n + 1}} \sim \color{#00f}{\large{1 \over n\,2^{n}}} $$