Notación Landau - Explicaciones prácticas

Question

Alguien me dijo esta semana que la notación Landau es muy práctica en general en análisis.

Definición : Sea la función $\phi$ definido en un conjunto abierto que contiene $x_0$ Queremos comparar $f$ à $\phi$ : queremos saber si $\displaystyle{\left\vert\frac{f}{\phi}\right\vert}$ o si el límite es nulo en este punto; pero, podemos escribir el informe sólo si $ \phi$ no desaparece.

Decimos que $ f\in o(\phi)$ en las proximidades de $ x_0$ sólo si si para todo $ \varepsilon >0$ existe $ \eta>0$ tal que

$ \displaystyle{\forall x\in ]x_0-\eta,x_0+\eta[, \vert f(x)\vert<\varepsilon \vert\phi(x)\vert}$

Si $ \phi$ no desaparece, tenemos : $ \displaystyle{\forall x\in ]x_0-\eta,x_0+\eta[, \left\vert\frac{f(x)}{\phi(x)}\right\vert<\varepsilon }$ Decimos en este caso que $ f$ es despreciable frente a $ \phi$ en un barrio de $ x_0$ .

Me gustaría saber por qué es importante adoptar esta notación y dominar el concepto. ¿Alguien podría explicarme la importancia de esta notación (con ejemplos, comparativas, etc.)?

La pregunta puede ser tonta, pero a veces me pregunto sobre cierto tema sin ser yo mismo capaz de responder a esta pregunta. Soy un poco joven (13 años), y todavía tengo mucho que aprender en matemáticas.

Merci !

Answer 1

Esto es útil en el campo del análisis algorítmico. Por ejemplo, si desea calcular $\exp x$ puede utilizar su definición, $$ \exp x = \sum_{j=0}^\infty \frac{x^j}{j!} $$ pero, por desgracia, los ordenadores no pueden realizar un número infinito de operaciones en un tiempo finito, por lo que debe truncarse para obtener un polinomio, $$ \exp x \simeq \sum_{j=0}^{m-1} \frac{x^j}{j!} = 1 + x + \frac{x^2}{2} + \cdots + \frac{x^{m-1}}{(m-1)!} $$ Ahora aquí está el problema, dónde elegir $m$ ? Cada término de este polinomio añade un tiempo de cálculo significativo. Es posible que queramos controlar el error dentro de un cierto límite. Digamos que queremos que el error esté por debajo de $x^2$ en el intervalo $]-1,1[$ . Desde $x^3 \in o(x^2), x^4 \in o(x^2), \dots$ , $$ \exp x = 1 + x + \frac{x^2}{2} + o(x^2) $$ Es decir, sólo tenemos que calcular $3$ para que el error esté acotado por debajo de algún múltiplo de $x^2$ .

Como en análisis matemático, digamos que si quieres encontrar el límite de esta función $$ \lim_{x \to \infty} \frac{1}{1 + \frac{1}{x} + \frac{1}{x^2}} $$ Desde $\frac{1}{x} \in o(1), \frac{1}{x^2} \in o(1)$ el límite anterior es igual a $$ \lim_{x \to \infty} \frac{1}{1} = 1 $$