Definición de variable aleatoria discreta

Question

Aquí está la definición de variable aleatoria discreta de "An introduction to probability and statistics" de Rohatgi.

Sea $(\Omega,S,P)$ sea un espacio de probabilidad. Una variable aleatoria $X$ definida en este espacio se dice que es discreta si existe un conjunto contable $E \subset \mathbb{R}$ tal que $P\{X\in E\} = 1$

No estoy muy seguro de esta definición, ya que me parece más natural que para $X$ ser discreto, $X(\Omega)$ es un conjunto contable. ¿No es posible que $X(\Omega)$ es incontable, pero hay algún conjunto contable $E$ tal que $P\{X\in E\}=1$ ? En este caso, la definición anterior llamaría $X$ discreto, aunque $X$ no es "discreto".

¿Es errónea la definición anterior? o ¿me estoy perdiendo algo?

Answer 1

Porque la mayoría de las veces identificamos funciones que son casi seguramente iguales. Toda la teoría de los espacios de Lebesgue lleva estas identificaciones, y por buenas razones; hay un montón de propiedades que se mantienen; por ejemplo tenemos

$X = Y \ a.s. \implies E(X) = E(Y)$

En general, no nos preocupamos demasiado por los conjuntos de medida cero; muchos teoremas sólo demuestran cosas "fuera de un conjunto de medida 0", y eso es porque muchas propiedades dejan de ser ciertas cuando queremos que se mantengan para cada punto.

En cualquier caso, la cuestión es que como lo que nos interesa es el conjunto donde $X$ miente casi siempre, en lugar de exigir $X$ tome sólo valores contables, es natural debilitar esa condición y permitir que $X$ asumir casi siempre valores en un conjunto contable.