Ten un juego, $X=\left\{\left(\frac{1}{k}cosk,\frac{1}{k}sink\right):\:k\ge 1\right\}$ . Es un subconjunto de $\mathbb{R}^2$ .
Demostrar o refutar que $X$ es un conjunto abierto. Demostrar o refutar que $X$ es un conjunto cerrado. Entonces, determine $Int(X)$ y $Cl(X)$ .
Esta es una pregunta práctica. Hay muchas de práctica que se dan como esta, y estoy tratando de averiguar cómo abordar y resolver este tipo de problema.
Tengo las definiciones con las que intento empezar:
Un conjunto $X\subseteq\mathbb{R}^n$ está abierto si $\forall x\in X, \exists\:r>0$ tal que $B(x,r)\subseteq\:X$ .
Un conjunto $X\subseteq\:\mathbb{R}^n$ está cerrado si $X^C$ está abierto. $\:\:$ ( $X^c$ es el complemento de $X$ ).
Un conjunto $X\subseteq\:\mathbb{R}^n$ es cerrada si toda secuencia en $X$ que converge (a algún elemento $\mathbb{R}^n$ ) tiene su límite en $X$ .
Estos son los enfoques que he estado pensando para abrir:
deje $x$ sea un punto del conjunto, y luego demuestre que hay una bola centrada en él que está enteramente dentro del conjunto. O dado $x$ un elemento del conjunto, necesito averiguar cómo de pequeño debe ser el radio de la bola alrededor de $x$ para que el balón quede dentro de los límites.
En el caso de cerrado, para demostrarlo necesito demostrar que el complemento es abierto. Pero, sé que un conjunto no necesita ser abierto o cerrado, y un conjunto puede ser tanto abierto como cerrado, así que quizá sea mejor que no use un argumento de "supongamos que el conjunto no es abierto". Si no, puedo demostrar que el conjunto contiene todos sus puntos límite: así que para algún $x$ el límite de $x$ estará contenido en $X$ .
