Un campo con un elemento de orden $12$: $(a+a^{-1})^2=3.$

Question

Sea $K$ un campo y $a\in K^*$ de orden $12$. Necesito probar que $(a+a^{-1})^2=3.

'Progreso': Expando $(a+a^{-1})^2=a^2+a^{-2}+2$ por lo tanto necesito probar que $a^2+a^{-2}=1$, o que el inverso de $a^2$ es $1+a^{-4}$. También intenté con el teorema del binomio y trabajando con el inverso pero sin éxito.

No estoy segura de cómo puedo usar el hecho de que el orden de $a$ es $12$. ¿Alguna idea?

Answer 1

Tenemos $(a^6-1)(a^6+1)=0$. Pero $a^6\ne 1$, así que $a^6+1=0$. Por lo tanto, $(a^2+1)(a^4-a^2+1)=0$. Dado que el orden de $a$ no divide a $4$, tenemos que $a^4-a^2+1=0$. Esto es equivalente a lo que quieres demostrar.