Relación entre probabilidades como $P(AB>a) > P(Ab>a)$

Question

Sea $X=AB$ ,

$A$ y $B$ son variables aleatorias que NO son independientes y sé que $A>0$ , $B\geq b >0$ con $b$ es una constante determinista.

Entonces, para cualquier constante $a$ Probabilidad $P(X>a) > P(Ab>a)$ porque $p=P(X>Ab)=1$ .

Ahora si se $p=P(B>b')$ con $b'>b$ ,

¿existe alguna relación (igualdad o desigualdad) entre $P(X>a)$ , $P(Ab'>a)$ y $p$ ?

Answer 1

No es exactamente una respuesta, pero es demasiado largo para un comentario.

Creo que debemos tener cuidado con la igualdad. En la configuración que usted dijo $A>0, B\ge b> 0$ . En ese caso sólo se puede concluir $X = AB \ge Ab$ pero no se puede concluir $P(X > Ab)=1$ . De hecho, $P(X>Ab) = P(B>b)$ que puede ser cualquier valor entre $0$ a $1$ .

Además, usted dijo $P(X > a) > P(Ab > a)$ pero eso es falso. Lo que se puede concluir es $P(X > a) \ge P(Ab > a)$ primero porque es posible $B \equiv b$ en cuyo caso $X=Ab$ y las dos probabilidades son iguales, y segundo porque es posible que para ciertos valores de $a$ (por ejemplo $a < 0$ ) tenemos $P(Ab> a) =1$ ya y $P(X > a)$ no puede ser $>1$ .

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En fin, volvamos a tu pregunta: En general, $P(Ab' > a)$ sólo tiene que ver con la distribución marginal de $A$ y $P(B > b')$ sólo tiene que ver con la distribución marginal de $B$ pero $P(X > a)$ tiene que ver con la distribución conjunta. Si $A$ y $B$ son dependientes, puede hacer que el $3$ Las distribuciones se parecen a muchas cosas diferentes, así que no creo que se pueda demostrar nada en general.

Por ejemplo, una forma natural de proceder es:

$$ \begin{align} P(X > a) &= P(X > a | B > b') P(B > b') + P(X > a | B \le b') P(B \le b') \\ & \ge P(Ab' > a | B > b') P(B > b') + 0 \end{align}$$

Así que esto tiene $2$ de la $3$ cantidades que desee. Sin embargo, como $A$ y $B$ son dependientes, ni siquiera podemos decir $P(Ab' > a | B> b') = P(Ab' > a)$ así que no veo la forma de seguir adelante. Creo que puedo inventar ejemplos en los que $P(Ab' > a | B>b')$ es $>$ o es $< P(Ab' > a)$ .