Encontrar el valor mínimo de $f(b)$ donde $f(b)$ denota el valor máximo de $g(x)$ donde $g(x)=\left|\sin x+\frac{2}{3+\sin x}+b\right|$ .

Question

Para cualquier número real $b$ deje $f(b)$ denotan el valor máximo de $g(x)$ donde $$g(x)=\left|\sin x+\frac{2}{3+\sin x}+b\right|$$

Hallar el valor mínimo de $f(b)$

$f(b)$ parece estar situada entre $b$ y $b+\frac{3}{2}$ . Entonces, ¿cuál puede ser el valor mínimo de $f(b)$

Answer 1

Sea $t=3+\sin x$ entonces $2\leq t\leq 4$ así que $$3\leq t+{2\over t} \leq {9\over 2}$$ y $$g(x)= \underbrace{|t-3+{2\over t}+b|}_{=:h(t)}$$

Si $b\geq 0$ entonces $$h(t) = t+{2\over t}+b-3 \leq {3\over 2}+b = f(b) \implies \min f(b) = {3\over 2}$$

Si $b\leq -{3\over 2}$ entonces $$h(t) = -t-{2\over t}-b+3 \leq -b = f(b) \implies \min f(b) = {3\over 2}$$

Si $-{3\over 2}<b<0$ entonces $$f(b)= \max \{h(2),h(4)\} = \max \{-b,{3\over 2}+b \}$$

$$={{3\over 4} +|b+{3\over 4}| } \implies \boxed{\min f(b) = {3\over 4}}$$ y la eqaulidad se alcanza en $b=-{3\over 4}$

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Aviso: Uso esta fórmula para max al final $$ \max\{a,b\} = {a+b+|a-b|\over 2}$$