Las Matemáticas Básicas. Problemas con la prueba, los poderes y los números impares.

Question

Saluda,

En los ejercicios, al final del capítulo 1.4, Matemáticas Básicas, Serge Lang

6) Demostrar: Si $n$ es impar, entonces $\quad (-1)^n = -1$

Cómo? El trabajo que hice

$$\begin{align}( -1)^n &= ( -1 )^{2m+1}\\ &= ( ( -1)^2 )^{m+1}\\ &= ( ( -1 )( -1 ) )^{m+1}\\ &= ( 1 )^{m+1} \end{align}$$

Se puede llegar desde aquí a $-1$?

El libro muestra

Deje $n = 2k + 1$. Entonces

$$\begin{align}(-1)^n &= (-1)^{2k+1}\\ &= (-1)^{2k}(-1)\\ &= 1 \cdot (-1)\\ &= -1 \end{align}$$

Estoy teniendo problemas con la forma en $(-1)^{2k+1}$ se convirtió $(-1)^{2k}(-1)$.

Answer 1

$( -1)^n = ( -1 )^{2m+1} \color{rojo}= ( ( -1)^2 )^{m+1}$

Mal. Tenga en cuenta que $2(m+1)=2m+2$.

$(-1)^n = (-1)^{2k+1} \color{blue}= (-1)^{2k}(-1)$, for the blue equality, answer this question: how do you define $p^q$, where $p,q\in \Bbb Z$ and $q>0$?

Answer 2

Usted cometió un error en la 2ª igualdad. La propiedad relevante de exponenciación aquí está: $$ a^{m+n}=a^m^n $$