¿Cuál es la estructura de los polinomios matriciales invariantes?

Question

Que el campo $\mathbb F$ ser $\mathbb R$ o $\mathbb C$ y $M_n(\mathbb F)$ todos $n \times n$ matrices.

Denotamos por $I_n(\mathbb F)$ el espacio de todas las funciones:

$$P : M_n(\mathbb F) \rightarrow \mathbb F$$

que son polinómicas (en el sentido de que $P(A)$ es un polinomio en las entradas de $A$ ), y que son invariantes bajo la conjugación, es decir $P(gAg^{-1}) = P(A)$ para todos $g \in GL_n(\mathbb F)$ .

Para cada $p \ge 0$ definimos $\Sigma_p \in I_n(\mathbb F)$ como $\Sigma_p(A)=\mathrm{Tr}(A^p)$ .

Entonces tenemos un isomorfismo de álgebras $I_n(\mathbb F) \cong \mathbb F[\Sigma_0,\Sigma_1,\dots,\Sigma_n]$ ?

Answer 1

Sí. Esto es casi cierto en general, pero no del todo por dos razones: una tiene que ver con el tamaño del campo y la otra con la característica.

La afirmación correcta sobre un campo infinito $F$ es que el álgebra de polinomios invariantes está generada por las funciones simétricas elementales de los valores propios, o más concretamente por los coeficientes del polinomio característico $\det (I - At)$ . Para ver esto, pase WLOG al cierre algebraico $\bar{F}$ (que podemos hacer porque $P$ es polinómica). La identidad $P(gAg^{-1}) = P(A)$ es una identidad polinómica en los coeficientes de $A$ los coeficientes de $g$ y $\det g$ y puesto que $F$ es un campo infinito dos polinomios que son iguales cuando todos los elementos posibles de $F$ son iguales idénticamente. Por consiguiente, esta identidad se mantiene en $\bar{F}$ . (Esta parte del argumento se puede ignorar sobre $\mathbb{C}$ .)

Supongamos ahora que $M$ es una matriz diagonalizable. Entonces $P(M)$ al ser invariante de la conjugación, es necesariamente un polinomio, de hecho un polinomio simétrico, en los valores propios de $M$ . Dado que las matrices diagonalizables sobre $\bar{F}$ son densas de Zariski (ya que contienen las matrices con valores propios distintos, que es una condición abierta de Zariski), se deduce que $P$ debe ser un polinomio simétrico en los valores propios de $M$ idénticamente. Por lo tanto $P$ es un polinomio en los polinomios simétricos elementales con coeficientes en $\bar{F}$ pero utilizando el hecho de que $P$ se define sobre $F$ y dejando $M$ sea una colección adecuada de matrices complementarias muestra que $P$ es un polinomio en los polinomios simétricos elementales con coeficientes en $F$ .

El argumento anterior no funciona en un campo finito porque la identidad $P(gAg^{-1}) = P(A)$ ya no está garantizado que se mantenga sobre el cierre algebraico, aunque no conozco un contraejemplo en este entorno.

El resultado deseado es verdadero en la característica cero o en la característica mayor que $n$ por Las identidades de Newton pero falsa en característica positiva pequeña porque usar las identidades de Newton requerirá dividir por cero. Por ejemplo, en la característica $2$ a diferencia de la característica superior, no es posible expresar $$e_2 = \sum_{i < j} \lambda_i \lambda_j$$

en términos de $$p_1 = \sum_i \lambda_i$$

y $$p_2 = \sum_i \lambda_i^2 = (\sum_i \lambda_i)^2 = p_1^2$$

(donde $\lambda_i$ son los valores propios).