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La asintótica de $\int_x^1 |f|$ como $x\to 0$ para una función no integrable con $\int_0^1|f|^p<\infty$ , $0<p<1$

Supongamos que $0<p<1$ . Sea $h:(0,1]\to\mathbb C$ sea una función mensurable de Lebesgue tal que $$\int_{x}^1|h(t)|\,\mathrm dt<\infty\quad\forall x\in(0,1].$$ Supongamos también que $$\int_0^1t\cdot|h(t)|^p\,\mathrm dt<\infty.$$

Reclamación: $$\lim_{x\downarrow0}\left\{x^{2/p-1}\cdot\int_x^1|h(t)|\,\mathrm dt\right\}=0.$$

Tengo una prueba para el caso en que $p\in[1,2)$ pero el truco aquí es que $L^p$ no es un espacio normado para $p\in(0,1)$ por lo que los trucos habituales ( Por ejemplo desigualdad de Hölder) no funcionan aquí. Algo relacionado con mi pregunta anterior .

Intenté encontrar algunos contraejemplos heurísticos, pero fue en vano. Mi conjetura es que la afirmación es cierta, pero la prueba se me ha escapado hasta ahora. Gracias de antemano por cualquier pista.

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Esto no es cierto. Para aclarar la cuestión, ayuda descomponer $(0,1]$ en intervalos diádicos $I_k = (2^{-k},2^{1-k}]$ . Entonces su suposición es $$\sum_k 2^{-k} \int_{I_k}|h|^p<\infty \tag1$$ mientras que la conclusión deseada es $$\sum_{k=1}^m \int_{I_k}|h| = o \left(2^{m(2/p-1)}\right) \tag2$$ Ahora bien, si recordamos que $\int_{I_k}|h|^p$ no proporciona ningún límite superior para $\int_{I_k}|h|$ en absoluto (ya que $p<1$ ), aparece un contraejemplo: defina $h$ en cada $I_k$ para que $\int_{I_k}|h|^p=1$ y $\int_{I_k}|h| = 2^{2^{2^{2^k}}}$ o lo que quieras.

Por ejemplo, $h(x) = (x-2^{-k})^{-1}$ en $I_k$ ligeramente truncado y normalizado.

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