La terminología de esta respuesta puede resultar difícil de asimilar, pero la idea es realmente sencilla. Sin duda puede reformularse utilizando la inducción "fuerte".
Es muy útil pensar en el producto pedido $$f(i)\cdot f(j)$$
como el número de formas de crear -a partir de un único nodo raíz- un subárbol izquierdo de altura $i$ sin incluir el nodo raíz, y un subárbol derecho de altura $j$ sin incluir el nodo raíz. Por lo tanto $f(i) \cdot f(j)$ nos dará todos los árboles cuyos subárboles izquierdos (¡incluido el nodo raíz!) tengan altura $i + 1$ y cuyos subárboles derechos tienen altura $j+1$ (de nuevo, incluyendo el nodo raíz).
Contar cómo hacerlo para todos $i, j \ge 0$ con al menos uno de $i$ o $j$ igual a $h - 1$ nos dirá cómo hacer que todos los árboles con altura total $h$ - ya que cada árbol de altura $h$ es precisamente sólo un nodo raíz y dos subárboles, uno de los cuales tiene altura $h-1$ .
Mi punto es que, si realmente lo miras con cuidado,
$$\left[2\sum_{i = 0}^{h-2}f(i)\cdot f(h-1)\right] + f(h-1)^2 = \sum_{i = 0}^{h-1}f(i)\cdot f(h-1) + \sum_{j= 0}^{h-1} f(h-1) \cdot f(j)$$
y la parte derecha te va a dar todas las formas de hacer árboles, partiendo de un nodo raíz, con subárboles de tamaño $i$ o $j$ y $h-1$ .
