Área entre los conjuntos de nivel de una curva

Question

Tengo el siguiente curva en la habitual $x$-$y$ plano Euclidiano: \begin{align} (x^2-y^2+2x)^2 = 4\alpha({x^2-y^2}) \end{align} para algunos $\alpha > 1$. Usted puede trazar la curva de aquí:

http://www.mathsisfun.com/data/grapher-equation.html

ingresando por ejemplo, ((x^2)-y^2+2*x)^2=4*12*(x^2-y^2), a retirar el caso de $\alpha = 12$.

Para $\alpha = 6$, decir que yo tengo un nivel de conjunto, y para $\alpha = 6+\epsilon$ para algunos pequeños $\epsilon$, me sale otro nivel. Quiero mostrar que en la mitad derecha del plano, el área entre los dos conjuntos de nivel será delimitada por $\epsilon$ multiplicado por una constante. Por supuesto, me gustaría mostrar que esta propiedad se cumple para cualesquiera $\alpha$ y lo suficientemente pequeño $\epsilon$ (En este caso la constante multiplicador puede depender de $\alpha$).

Esta curva con la ecuación anterior es sólo un ejemplo. La pregunta principal es ¿cómo puedo hacer esto para cualquier curva (suponiendo que la curva tiene unas ciertas propiedades)? (Aunque también sería bueno ver una respuesta para el caso particular de arriba). Respuestas en el formulario de "Leer este noob" también sería muy apreciada.

$\textbf{Edit:}$ A aclarar, formalmente, consideramos que las soluciones de la ecuación de $f(x_1,\ldots,x_n) - \alpha g(x_1,\ldots,x_n) = 0$ donde $x_1,\ldots,x_n$ son las coordenadas reales, $f$ $g$ (por ejemplo) los polinomios. Deje $\mathcal{S}_{\alpha} = \{(x_1,\ldots,x_n)\in\mathbb{R}^n:f(x_1,\ldots,x_n) - \alpha g(x_1,\ldots,x_n) = 0\}$. Aproximadamente, me gustaría mostrar algo como ($\mu$ es la medida de Lebesgue) \begin{align} \forall\alpha>0,\,\forall\epsilon>0,\,\mu\left(\bigcup_{\beta\in[\alpha,\alpha+\epsilon]}\mathcal{S}_{\beta}\right)\leq h(\alpha)\epsilon, \end{align} para algunos $0<h(\alpha)<\infty$ siempre que es posible hacerlo. En la definición de $\mathcal{S}_{\alpha}$, podemos restringir las soluciones para, por ejemplo, sólo positivos de coordenadas como en el ejemplo anterior.

$\textbf{Postmortem:}$ Tengo dos grandes respuestas, ninguna de las cuales, sin embargo, eran capaces de resolver completamente el problema. Robert Israel argumento es bastante general, pero a mi lectura, no simplemente el problema tanto como yo lo estaba esperando. Anıl Başeski el argumento es muy específico, pero al menos resuelve el caso concreto, tal como se plantea en la pregunta. El caso particular estaba relacionado con mi propia investigación, y la existencia de una parametrización y una solución de forma cerrada para la zona es bastante útil. Por lo tanto, he decidido otorgar la recompensa para Anıl. También me gustaría agradecer a todos los que han participado en el foro de discusión para profesionales. La pregunta general, sin embargo, es todavía abierto, y por lo tanto no hay "respuestas aceptadas."

Answer 1

Para la ecuación de la curva en la mitad derecha del plano puede ser parametrizado por $y=t\ x(t)$ dar $$x(t)=\frac{2\times \sqrt{\alpha (1-t^2)}-2}{1-t^2}$$ $$y(t)=t\ x(t)=t\frac{2\times\sqrt{\alpha (1-t^2)}-2}{1-t^2}$$ donde $-\beta\lt t\lt\beta$ $\beta=\frac{\sqrt{\alpha-1}}{\sqrt{\alpha}}$

El área puede ser formulado como $$A=\frac{1}{2}\int_{-\beta}^{\beta}\bigg(x(t)\frac{dy(t)}{dt}-y(t)\frac{dx(t)}{dt}\bigg)dt $$ Debido al hecho de que $y=t\ x(t)$ $$A=\frac{1}{2}\int_{-\beta}^{\beta}\bigg(x(t)^2\bigg)dt =F(\beta)-F(-\beta)$$ y $$F=\frac{t \bigg( 8 \sqrt{\alpha (1-t^2)}-2\bigg ) + 2 (1 + 2 \alpha) (-1 + t^2) \text{arctanh}(t)}{t^2-1}$$ que da la siguiente formulación para $A$ $$A=2 (1 + 2 \alpha) \text{arctanh}\bigg(\frac{\sqrt{\alpha-1}}{\sqrt{\alpha}}\bigg)-6\sqrt{\alpha^2-\alpha} $$ Por expansión de Taylor $$dA=A(\alpha+\epsilon)-A(\alpha)=\frac{dA}{d\alpha}\epsilon+O(\epsilon^2)$$ y por descuidar a los términos de orden superior $$dA= 4\bigg( \text{arctanh}\bigg(\frac{\sqrt{\alpha-1}}{\sqrt{\alpha}}\bigg)- \frac{\sqrt{\alpha-1}}{\sqrt{\alpha}}\bigg)\epsilon $$

PS: Desde ecuaciones son demasiado largos y el tiempo es demasiado corto recomendamos comprobar que no hay errores ortográficos.

Answer 2

Si $S_\alpha$ es un compacto $n-1$-colector debe obtener $h(\alpha) = \int_{S_\alpha} \dfrac{1}{\|\nabla (f/g)\|}$, cuando que es finito. Un contraejemplo sería la curva de $(x^2 + y^2 - 1)^3 = \alpha$, que es un círculo de radio $1 + \alpha^{1/3}$. El área entre el $S(0)$ $S(\epsilon)$ es de aproximadamente $2 \pi \epsilon^{1/3}$ y por lo tanto no es $O(\epsilon)$$\epsilon \to 0$.