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Question

Si hay un cilindro con un radio de base de 70 cm, y se está vertiendo agua en él a 10 litros por minuto, ¿a qué velocidad está subiendo el nivel del agua?

Me he confundido horriblemente sobre cómo hacer esto; ¿alguien puede proporcionar algún consejo?

¡Gracias!

Answer 1

Pistas: Tienes un cilindro con altura $h$ y radio de la base $r$ y volumen $V$. Entonces $$ V = \pi r^2h = \pi (7dm)^2h. $$ (Utilizando esto, el volumen estará en litros ya que $1$ litro es $(10$cm$)^3$ y 10cm$=1$dm (decímetro). La altura se mide ahora en decímetros).

Sabes que $$ \frac{dV}{dt} = 10 $$ y quieres encontrar $$\frac{dh}{dt}$$. Lo que puedes hacer es usar la ecuación de volumen anterior y utilizar la diferenciación implícita para relacionar $\frac{dV}{dt}$ y $\frac{dh}{dt}$.

Answer 2

$10$ litros = $10000$ centímetros cúbicos. El área de la base del cilindro es $70 \times 70 \times \pi$.

Por lo tanto, la altura del cilindro aumenta por $\frac{10000}{70 \times 70 \times \pi}$ por minuto.

Answer 3

Creo que esta pregunta y las respuestas resaltan dos cosas importantes.

1. La respuesta de @Legendre muestra que hay una solución simple, no de cálculo. Creo que es útil reconocer los momentos en los que no necesitas cálculo para resolver el problema, aunque puedes usar la solución de cálculo si lo deseas (y obviamente usarías la solución de cálculo en una clase de cálculo).

2. Cuando se utiliza la solución de cálculo como hace @Thomas arriba, es importante reconocer que el radio del cilindro no está cambiando y, por lo tanto, al diferenciar, $r$ se trata como una constante. (El volumen es una función tanto de la altura como del radio. Dado que el radio no está cambiando, lo mantienes constante y efectivamente tomas la derivada parcial.)

Ambos métodos producen el mismo resultado (lo cual es una buena manera de verificar tu respuesta).

Por cierto, @Thomas se refiere a la "ecuación de colume" arriba. Obviamente quiso decir "ecuación de volumen." (Intenté editarlo, pero la edición fue rechazada. ¯_(ツ)_/¯