Múltiplos casi hermitianos con forma simpléctica cerrada.

Question

Una variedad hermitiana $M$ es una variedad dotada de una métrica riemanniana $g$ una dos-forma no degenerada $\omega$ y una estructura casi compleja $J$ tal que

$\omega(\cdot,\cdot) = g(J\cdot,\cdot)$

$(M,g,J,\omega)$ es una colector de Kahler si y sólo si $J$ es integrable, es decir, es una estructura compleja sobre $M$ y $\omega$ es cerrada, es decir, es una forma simpléctica sobre $M$ . ¿Qué ocurre si relajamos la condición de $J$ siendo integrable pero seguimos exigiendo $\omega$ que se cierre? ¿Tienen nombre este tipo de colectores? ¿Disfrutan de propiedades geométricas interesantes como las de las variedades de Kahler?

Gracias.

Answer 1

El sistema de nomenclatura es el siguiente:

• $J$ no integrable, $\omega$ no cerrado: Casi hermitiana
• $J$ integrable, $\omega$ no cerrado: Hermitian
• $J$ no integrable, $\omega$ cerrado: Casi Kahler
• $J$ integrable, $\omega$ cerrado: Kahler

Answer 2

Toda múltiple simpléctica tiene un espacio contractible (en particular, no vacío) de estructuras casi complejas compatibles, por lo que ésta es exactamente una condición fuerte para que una múltiple sea simpléctica. Estas estructuras casi complejas se utilizan en geometría simpléctica, por ejemplo, para definir curvas pseudoholomórficas.