Número de soluciones de $x^2=1$ en $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$

Question

Lo siguiente es lo que he elaborado hasta el momento.

$1$ y $-1$ son raíces para todos $n$ .

$x \in \mathbb{Z}/n\mathbb{Z},\ $ $x^2\equiv1 \Leftrightarrow (x-1)(x+1)\equiv0 \Leftrightarrow \exists k \in \mathbb{Z}/n\mathbb{Z}: k(k+2)\equiv0 $ . Pero, ¿cómo puede aplicarse para encontrar otras raíces?

Answer 1

(Tendría que comprobar los detalles de lo que sigue, pero proporciona algunas ideas aproximadas).

Escriba a $n = \prod_i p_i^{\nu_i}$ y utilizar el teorema chino del resto para obtener un sistema de ecuaciones

$$ x^2 \equiv 1 \pmod{p_i^{\nu_i}}$$ Por supuesto, para cada $p_i$ , $x=\pm 1$ ofrece una solución. Basado en algunos cálculos rápidos, creo que:

• Si $p_i>2$ Estas son las únicas soluciones.
• Si $p_i=2$ y $\nu_2 \geq 3$ entonces hay 4 soluciones.
• Si $p_i=2$ y $\nu_2 = 2$ entonces $x=\pm 1$ son soluciones.
• Si $p_i=2$ y $\nu_2 = 1$ hay $1$ solución, porque $+1 = -1$ .

Para confirmarlo: investiga cuándo una potencia prima puede dividir dos números que difieren en $2$ es decir, cuando $p_i^{\nu_i} \mid (x+1)(x-1)$ .

Podemos entonces utilizar el teorema chino del resto para reensamblar las soluciones y encontrar soluciones mod $n$ cada combinación de soluciones modulo las primopotencias determinará unívocamente una solución mod $n$ .

Por tanto, el número de soluciones es (donde $\omega(n)$ es el número de factores primos distintos de $n$ ):

• $2^{\omega(n)}$ si $n$ es impar o $\nu_2 = 2$ .
• $2^{\omega(n)+1}$ si $\nu_2 \geq 3$
• $2^{\omega(n)-1}$ si $\nu_2 = 1$

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Una prueba de lo anterior puede basarse en los teoremas 4.19 y 4.20 de Álgebra básica vol 1 de N. Jacobson, en el que se analiza la estructura del $U_{p^\nu}$ es el grupo de unidades en $\mathbb Z/p^\nu \mathbb Z$ es cíclico si $p>3$ , $p^\nu=2$ o $p^\nu=4$ e isomorfo a $C_2\times C_{2^{\nu-2}}$ si $p=2$ y $\nu\geq 3$ .