Formalización de una idea intuitiva para construir una suryección

Question

Sea $A$ sea un conjunto arbitrario y $B$ cualquier conjunto no vacío. Además, supongamos que no hay inyección desde $A$ a $B$ . Quiero demostrar que existe una suryección desde $A$ a $B$ .

Tengo en mente un argumento intuitivo para demostrarlo, pero no sé cómo formalizarlo. He aquí este argumento intuitivo: Dado que $B$ no es vacío, tiene que haber una función de $A$ a $B$ . Fijemos una función de este tipo $f_0\colon A \to B$ . La idea es modificar esta función $f_0$ utilizando el hecho de que no hay inyección de $A$ a $B$ para obtener una función suryectiva. Si $f_0$ es suryectiva, entonces hemos terminado. Así que el caso interesante es el caso en el que hay algunos elementos de $B$ que no son a imagen y semejanza de $f_0$ . Nuestro trabajo consiste en modificar $f_0$ de tal manera que estos elementos de $B$ también se ven afectados. Deja que $b_0$ sea un elemento de $B$ que no es a imagen de $f_0$ . Desde $f_0$ no es inyectiva, hay dos elementos distintos $a_0, {a_0}'\in A$ tal que $f_0(a_0)=f_0({a_0}')$ . Ahora podemos definir una función $f_1\colon A\to B$ del siguiente modo: si $a\not = {a_0}'$ entonces $f_1(a) := f_0(a)$ y si $a={a_0}'$ entonces $f_1(a):=b_0$ . Si $f_1$ es suryectiva, entonces hemos terminado. Si no, podemos volver a hacer lo mismo: Sea $b_1$ sea un elemento de $B$ que no es a imagen de $f_1$ . Desde $f_1$ no es inyectiva, hay dos elementos distintos $a_1, {a_1}'\in A$ tal que $f_1(a_1)=f_1({a_1}')$ . Ahora podemos definir una función $f_2\colon A\to B$ del siguiente modo: si $a\not = {a_1}'$ entonces $f_2(a) := f_1(a)$ y si $a={a_0}'$ entonces $f_2(a):=b_1$ . Podemos iterar este proceso un número finito de veces. Así, si la imagen de $f_0$ es finito, entonces $f_n\colon A\to B$ es suryectiva, donde $n$ es la cardinalidad de la imagen de $f_0$ .

Intuitivamente creo que este argumento también funciona si la imagen de $f_0$ es contablemente infinito. Entonces podemos llevar a cabo el mismo proceso para construir funciones $f_1$ , $f_2$ , $f_3$ , $f_4$ etc. Entonces el límite $f_\omega$ de este proceso contablemente infinito es una función suryectiva $A\to B$ .

De hecho, yo también creo que este tipo de argumento siempre funciona. Podemos iterar este proceso hasta que cada elemento de $B$ si es necesario mediante la construcción de funciones $f_{\omega + 1}$ , $f_{\omega + 2}$ , $f_{\omega +3}$ , ..., $f_{\omega\cdot 2}$ , ..., $f_{\omega\cdot 3}$ , ..., $f_{\omega\cdot\omega}$ , ..., $f_{\alpha}$ (donde $\alpha$ es un número ordinal).

¿Cómo se puede formalizar esta idea y convertirla en una prueba rigurosa?

Answer 1

Inducción transfinita te permite iterar el proceso que describes, y cuando se combina con el axioma de elección, puede usarse para hacer que funcione algo muy parecido a tu argumento. (Aunque tendrás que tener un poco de cuidado con cómo manejas los ordinales límite).