¿Cuál es el camino más corto para llegar al teorema de Roth?

Question

En 1953, Roth demostró por primera vez que cualquier subconjunto de los números enteros con densidad positiva contiene una progresión aritmética de tres términos. Desde entonces han surgido muchas otras pruebas (se me ocurren ocho).

Se ha prestado mucha atención a los límites del teorema de Roth y, en particular, al tipo de límites que se obtienen con las distintas pruebas (por ejemplo, el análisis de Fourier da límites de tipo logarítmico, los argumentos del lema de regularidad dan límites de tipo Ackermann, etc.).

Además, algunas pruebas son más susceptibles de generalización (a progresiones aritméticas más largas) que otras.

Mi pregunta es

Si sólo nos preocupa la brevedad y la franqueza (es decir, no una comprensión teórica más profunda ni límites cuantitativos precisos), ¿cuál es la demostración más corta del teorema de Roth?

Repasando los argumentos que conozco, parece que el más corto puede ser el original de Roth (con un par de simplificaciones): mostrar que hay un coeficiente de Fourier grande y deducir algún tipo de argumento de incremento de densidad e iterarlo - una buena exposición está en Tao y Vu, o las notas de Ben Green en http://people.maths.ox.ac.uk/greenbj/notes.html . Con todos los detalles detallados, esto probablemente podría hacerse en 8 páginas o una hora de conferencia.

Lo impar es que esta prueba también da límites cuantitativos bastante buenos; si $r_3(N)$ es el tamaño del mayor subconjunto de $\{1,...,N\}$ sin progresiones aritméticas de tres términos, entonces incluso una versión rudimentaria de este argumento da $$ r_3(N)=O\left(\frac{N}{\log\log N^c}\right)$$ mientras que todo lo que Roth necesita es $o(N)$ . De ahí mi segunda pregunta,

¿Es inevitable que las pruebas más directas y sencillas conduzcan también a límites cuantitativos bastante buenos?

Finalmente, un ejercicio en Tao y Vu menciona que el ejemplo de Behrend de un límite inferior para $r_3(N)$ demuestra que no se pueden utilizar argumentos sencillos del tipo del encasillamiento para demostrar el teorema de Roth. Por lo tanto,

¿Qué otras técnicas de demostración no funcionarían con el teorema de Roth?

Answer 1

Hay un atajo en el planteamiento de Roth si uno sólo se preocupa de conseguir $o(N)$ . Adolf Hildebrand me lo dijo, y aquí está mi escrito más breve.

Notación: Sea $r(N),\rho(N)$ sea la mayor cardinalidad y densidad de un subconjunto de $[N]$ que esté libre de AP de 3 términos, y sea $\rho=\lim \rho(N)$ que debe existir por Lema subaditivo de Fekete desde $r(N+M)\leq r(N)+r(M)$ . Sea $A\subset [N]$ testigo $r(N)$ y que $S(x) = \sum_{a\in A} e( a x)$ (donde $e(ax)=\exp(2\pi i a x)$ naturalmente). Sea $T(x)=\sum_{n=1}^N e(nx)$ .

Lemmata: Ahora $r(N)=|A|=I:=\int_0^1 S(x)^2 S(-2x)dx$ ya que $A$ está libre de 3. Por Parseval, $|A|=\int_0^1 |S(x)|^2dx$ . Al ampliar $S(x)^2 T(-2x)$ e intercambiando integración y suma, $(|A|/2)^2 \leq I_0:=\int_0^1 S(x)^2 T(-2x)$ .

Motor principal: Mientras $0< M\leq N$ , $$\sup_{x\in {\mathbb R}} |S(x)-\rho(M) T(x)| \leq N(\rho(M)-\rho(N)) + 10 M \sqrt{N}.$$ La demostración se realiza por el método del círculo; establezca $E(x):=S(x)-\rho(M)T(x)$ . Los tres pasos son

• $|E(a/q)|\leq N(\rho(M)-\rho(N))+2Mq$ la difícil;
• $|E(a/q+\beta)| \leq N(\rho(M)-\rho(N))+2Mq +2\pi|\beta|NMq$ ;
• $|E(x)| \leq N(\rho(M)-\rho(N))+10M\sqrt{N}$ .

Lemma principal: Por Main Engine y Lemmata, $\Delta:=|I-\rho(M)I_0|$ es como máximo $(N(\rho(M)-\rho(N))+10M\sqrt{N})|A|$ . Por Lemmata, $\Delta$ es como mínimo $|A|(\rho(M)\rho(N)N/4-1)$ . Por lo tanto, $$\rho(N)\rho(M)\leq 4(\rho(M)-\rho(N))+50M/\sqrt{N}.$$

Conclusión: Sea $N\to\infty$ y luego $M\to\infty$ para obtener $\rho^2\leq 0$ .

El paso etiquetado como "el difícil" en el Motor Principal es complicado, y utiliza el hecho de que podemos restringir $A$ a progresiones aritméticas y aún así obtener un conjunto libre de 3. La longitud de las progresiones que restringimos está relacionada con $M$ .

Supongo que la cuestión es que un escrito puede ser casi arbitrariamente corto o extremadamente largo, dependiendo de lo que se pueda confiar en que rellene el lector.

Answer 2

El argumento más directo que conozco es el original de Szemerédi. No tiene antecedentes: ni lema de regularidad, ni análisis de Fourier. También es muy intuitivo. Hay un esbozo de Ernie Croot en http://people.math.gatech.edu/~ecroot/szemeredi.pdf

Answer 3

En una nota un poco descarada, parece que el camino más corto hacia el mejor límite disponible, sujeto a revisión por pares, se esboza en el siguiente documento de Bloom-Sisak ¡! Felicidades.

Answer 4

Obviamente, "el más corto" es bastante subjetivo en este caso, porque depende de los resultados que tomes como dados, de lo pequeño que sea tu escrito, etc. Recuerdo que aprendí la demostración del teorema de Fourier para un examen y la reduje a 2 páginas (comprensibles). Pero no recuerdo en qué resultados me basaba como lemas, etc.