Aplicaciones de la desigualdad de Hardy

Question

De vez en cuando me encontraba con la desigualdad de Hardy:

Teorema 1 (desigualdad de Hardy) . Si $p>1$ , $a_n \geq 0$ y $A_n=a_1+a_2+\cdots+a_n$ entonces $$\sum_{n=1}^\infty \left(\frac{A_n}{n}\right)^p < \left(\frac{p}{p-1}\right)^p \sum_{n=1}^\infty a_n^p,$$ a menos que $(a_n)_{n=1}^\infty$ es idénticamente cero. La constante es la mejor posible.

y su versión integral:

Teorema 2 (desigualdad integral de Hardy) . Si $p>1$ , $f(x) \geq 0$ y $F(x) = \int_0^x f(t) \ dt$ entonces $$\int_0^\infty \left(\frac{F}{x}\right)^p \ dx < \left(\frac{p}{p-1}\right)^p \int_0^\infty f^p(x) \ dx,$$ a menos que $f \equiv 0$ . La constante es la mejor posible.

con uno o dos comentarios que destaquen cómo importante y fundamental lo son. Sin embargo, todavía no he visto una buena aplicación de las desigualdades anteriores. Así que...

¿Podría dar una aplicación del Teorema 1 o del Teorema 2 que le parezca especialmente útil o instructiva?

Gracias de antemano.

Answer 1

Me gustaría añadir que quizás en los siguientes libros / tesis encuentre algunas aplicaciones interesantes de la desigualdad de Hardy (o desigualdades tipo Hardy), por ejemplo, al análisis financiero:

1. B. Opic, A. Kufner. Desigualdades de tipo Hardy . Pitman Research Notes in Mathematics 219, 1990.

2. A. Wedestig. Desigualdades ponderadas de tipo Hardy y sus desigualdades límite, Tesis doctoral, Departamento de Matemáticas, Universidad Tecnológica de Lulea, 2003.

3. A. Kufner, L. E. Persson. Desigualdades ponderadas de tipo Hardy. World Scientific. 2003

4. Este libro (se mencionan varias aplicaciones, por ejemplo, a la geometría diferencial)