Aplicaciones de la desigualdad de Hardy

Question

De vez en cuando me encontraba con la desigualdad de Hardy:

Teorema 1 (desigualdad de Hardy) . Si $p>1$ , $a_n \geq 0$ y $A_n=a_1+a_2+\cdots+a_n$ entonces $$\sum_{n=1}^\infty \left(\frac{A_n}{n}\right)^p < \left(\frac{p}{p-1}\right)^p \sum_{n=1}^\infty a_n^p,$$ a menos que $(a_n)_{n=1}^\infty$ es idénticamente cero. La constante es la mejor posible.

y su versión integral:

Teorema 2 (desigualdad integral de Hardy) . Si $p>1$ , $f(x) \geq 0$ y $F(x) = \int_0^x f(t) \ dt$ entonces $$\int_0^\infty \left(\frac{F}{x}\right)^p \ dx < \left(\frac{p}{p-1}\right)^p \int_0^\infty f^p(x) \ dx,$$ a menos que $f \equiv 0$ . La constante es la mejor posible.

con uno o dos comentarios que destaquen cómo importante y fundamental lo son. Sin embargo, todavía no he visto una buena aplicación de las desigualdades anteriores. Así que...

¿Podría dar una aplicación del Teorema 1 o del Teorema 2 que le parezca especialmente útil o instructiva?

Gracias de antemano.

Answer 1

En el análisis, las desigualdades o estimaciones individuales no suelen ser tan útiles propiamente dicho (aunque hay algunas excepciones notables, como la desigualdad de incrustación de Sobolev o la desigualdad de Cauchy-Schwarz), sino que son ejemplos representativos de una clase de estimaciones útiles más amplia. (cf. Gowers' " Dos culturas de las matemáticas ".)

En este caso particular, la desigualdad clásica de Hardy ejemplifica dos principios útiles; en primer lugar, que un peso de potencia inversa como $1/|x|^\alpha$ está "dominada" en algún $L^p$ sentido por la derivada correspondiente $|\nabla|^\alpha$ (o, por decirlo un poco en broma, $\frac{1}{x} = O(\frac{d}{dx} )$ comparar con el principio de incertidumbre $dx \cdot d\xi \gtrsim 1$ ); y en segundo lugar, que la media máxima de una función suele estar dominada en un $L^p$ sentido por la propia función. El primer principio se capta mediante una serie de generalizaciones de dimensiones superiores de la desigualdad de Hardy (que suelen adoptar una forma como la siguiente

$$\left\| \frac{f}{|x|^\alpha} \right\| _ {L^p({\bf R}^n)} \leq C_{p,\alpha,n} \| |\nabla|^\alpha f \|_{L^p({\bf R}^n)}$$

bajo supuestos adecuados sobre $p,n,\alpha,f$ ) que son fundamentales para el análisis de cualquier EDP que involucre potenciales singulares o pesos tales como $\frac{1}{|x|^\alpha}$ . El segundo principio es capturado por una familia diferente de generalizaciones de la desigualdad de Hardy, a saber, las desigualdades máximas para las que el Desigualdad máxima de Hardy-Littlewood es el ejemplo modelo. Esta desigualdad es el fundamento de gran parte del análisis armónico de variable real, y en particular en el análisis de operadores integrales singulares como la transformada de Hilbert o los operadores pseudodiferenciales.

Hay dos características interesantes de la desigualdad original de Hardy que también merece la pena señalar. En primer lugar, es una $L^p$ con una constante óptima explícita, lo cual es una rareza en el análisis (sólo se conocen una docena de desigualdades tan agudas para los operadores fundamentales del análisis). La otra es que la desigualdad nunca se satisface realmente con la igualdad (excepto en el caso trivial en que la función desaparece); se pueden construir secuencias de cuasi-extremos que se acerquen arbitrariamente a la igualdad, pero no convergen a un límite que realmente alcance esa igualdad. (La función $f = x^{-1/p}$ alcanza formalmente la igualdad para el Teorema 2, pero hay una divergencia logarítmica en ambos lados). Este es quizás uno de los ejemplos más sencillos de tal situación, y uno que merece la pena estudiar si uno está interesado en utilizar métodos variacionales para encontrar constantes óptimas para otras desigualdades, ya que uno necesita tener una buena intuición sobre cuándo espera que existan realmente optimizadores o no.

Answer 2

AS para el significado físico de la desigualdad de Hardy para p=2. Consideremos el operador de Schroedinger $$ H = -\frac{d^2}{dx^2} - \frac{c}{x^2} $$ en $(0,\infty)$ con condición de contorno de Dirichlet en $0$ . Una pregunta natural es: ¿Cuándo es positivo este operador en $L^2(0,\infty)$ y la respuesta es simplemente la desigualdad de Hardy, ya que $$ \langle \psi, H \psi \rangle \geq 0 $$ es equivalente a $$ \int_0^{\infty} |\psi'(x)|^2 dx \geq + c \int_0^{\infty} \left|\frac{\psi(x)}{x}\right|^2 dx $$ una inspección de la desigualdad de Hardy muestra ahora que $c = \frac{1}{4}$ es fundamental.

En realidad se puede utilizar este razonamiento para demostrar la desigualdad de Hardy, ya que la EDO $-u''(x) = c u(x)/x^2$ es explícitamente resoluble.

Answer 3

Sólo para añadir algo más sobre lo que Terry y Denis dijeron (no debería sorprender que las personas que saltaron a esta pregunta trabajen todas en EDP): un ejemplo simple del poder de la desigualdad de Hardy puede ilustrarse con la siguiente descripción "cualitativa" de la desigualdad:

La desigualdad de Hardy permite controlar las normas de derivada baja mediante normas de derivada alta "ponderadas" sujetas a condiciones de contorno.

Esto resulta especialmente útil en el estudio de ecuaciones diferenciales parciales hiperbólicas. Consideremos la ecuación de onda lineal:

$$ \Box u = 0 $$

Ignorando por ahora los métodos analíticos de Fourier, por simple integración por partes en el espacio físico, se obtiene la "estimación energética"

$$ \frac{d}{ds}E(s) = 0, \quad E(s) = \int_{t = s} (\partial_tu(t,x))^2 + (\nabla u(t,x))^2 dx$$

que le proporciona un control global en tiempo real del $L^2$ norma de una derivada de una solución $u$ .

En general, se pueden obtener estimaciones de energía más complicadas integrando la ecuación con diferentes "derivadas ponderadas" de la solución $u$ . A menudo se denomina "método ABC" de Morawetz o "método del campo vectorial" (según con quién se hable). El método a menudo puede dar una cantidad escalar conservada, casi conservada o monotónicamente decreciente que domina una cantidad escalar ponderada. $L^2$ norma de algún positivo número de derivadas de la función $u$ . La clave aquí es que tenemos una forma algo sistemática de construir estas estimaciones de energía para EDP hiperbólicas.

Pero a veces es necesario calcular $L^2$ de la propia función, sin derivadas, en el transcurso del argumento. La construcción de la energía descrita anteriormente no suele extenderse para trabajar en el caso de derivadas nulas. Aquí es donde las desigualdades de Hardy resultan útiles. Para las ecuaciones hiperbólicas, si los datos iniciales prescritos tienen un soporte compacto, la propiedad de "velocidad finita de propagación" (a menudo disponible para estos sistemas) implica que para cualquier tiempo futuro, la solución también tendrá un soporte espacial compacto: por lo tanto, se satisface el requisito de frontera de la desigualdad de Hardy. Con esto podemos convertir una estimación de energía ponderada en derivadas de la función $u$ a una ponderada (con diferente peso) $L^2$ control para la propia función.

Para dar una muestra limitada de cómo se utiliza esto en el contexto de las ecuaciones de onda

• Se utiliza una desigualdad de tipo Hardy en Prueba de Rodnianski y Sterbenz de la expansión estable del mapa de ondas co-rotacional en 1+2 dimensiones por una razón similar a la que he descrito anteriormente: necesitan extender un cierto control de la energía disponible para las derivadas de orden superior a las derivadas de orden inferior, con el fin de controlar los términos de orden inferior en la evolución.
• Las desigualdades de tipo Hardy también se utilizan con bastante frecuencia en los trabajos de Dafermos y Rodnianski que estudian el decaimiento de las ondas lineales en fondos de agujeros negros. Véase, por ejemplo este documento reciente .

Answer 4

A modo de complemento de todas las demás grandes entradas, he aquí algunos ejemplos en los que las he visto utilizadas, ya sea directamente o merodeando por la maquinaria de fondo (en su forma clásica o generalizada):

• Estudio de la ecuación elíptica $\mathscr{A} u = f$ donde $\mathscr{A}$ es el operador elíptico de segundo orden $$(\mathscr{A} u)(x) := - \sum_{i=1}^n \frac{\partial}{\partial x_i} \left(a_i(x) \frac{\partial u}{\partial x_i}\right)(x) + a_0(x) u(x)$$ en un dominio suave y acotado $U \subset \mathbb{R}^n$ donde $a_i(x) \to 0$ (es decir degenerados ) o $a_i(x) \to \infty$ (es decir tiene una singularidad ) como $x \to x_0 \in \partial U$ . Entonces podemos utilizar un peso para controlar la explosión o degeneración.
• Supongamos por otro lado que su operador elíptico $\mathscr{A}$ es "bonito" pero tus datos son malos, es decir, considera $$\left\{\begin{align} - \Delta u &= f, && x \in U,\\u &= g,&& x \in \partial U.\end{align}\right.$$ Si $g \in W^{-1/2,2}(\partial U)$ y $f \in W^{-1,2}(U)$ entonces podemos obtener una solución débil $u \in W^{1,2}_0(U)$ . Sin embargo, si $g$ tiene una singularidad en $x_0 \in \partial U$ entonces $g \notin L^2(\partial U)$ y no podemos utilizar el "enfoque estándar". Introducir un peso que desaparece cerca de $x_0 \in \partial U$ nos permite continuar.
• Supongamos que $U$ es un dominio no limitado. A veces, al resolver problemas de valor límite, podemos querer introducir un peso para especificar condiciones en el infinito . Por ejemplo, $$\int_{|x|>1} |u(x)|^2(1+|x|)^\epsilon dx < \infty, \quad \epsilon \in \mathbb{R}.$$
• Supongamos ahora que $\partial U$ ya no es una frontera suave, sino que es bastante "desagradable", es decir $\partial U$ pueden tener esquinas afiladas, cúspides, etc. De nuevo, al considerar una EDP en este dominio podemos utilizar un peso para controlar el mal comportamiento cerca de las partes desagradables de la frontera. Esto es útil para los esquemas numéricos, como los elementos finitos.
• Otra situación BVP, podríamos tener puntos en la frontera donde las condiciones de contorno cambian, por ejemplo, de condiciones de contorno Dirichlet a condiciones de contorno Neumann. En este caso también se pueden utilizar pesos.
• Al considerar la ecuación diferencial parcial estocástica ( SPDE ) $$\frac{\partial u}{\partial t} + \Delta u = \dot W(t)$$ donde $\dot W$ es un ruido blanco gaussiano espaciotemporal, en general sólo podemos obtener soluciones en $S'(\mathbb{R}^n)$ . Como es agradable obtener soluciones valoradas en función, a veces se puede conseguir si buscamos soluciones en el espacio ponderado $L^2(\mathbb{R}^n, e^{-\alpha |x|}dx)$ .
• Las ponderaciones también aparecen en la teoría de las ecuaciones semilineales. Por ejemplo, para el problema $$\left\{\begin{align}\frac{\partial u}{\partial t} -\Delta u &= f(u),&& x \in U, t > 0,\\ u &= 0,&& x \in \partial U, t >0,\\ u(t,0) &= u_0(x),&& x \in U\end{align}\right.$$ el concepto de solución muy débil puede definirse (como primer paso para estudiar el reventón, etc.). La definición implica el uso del espacio ponderado $L^1(U,\delta)$ donde $\delta(x):=\text{dist}(x,\partial U)$ .
• Como ya se ha mencionado, aparecen en las estimaciones del tipo Littlewood-Paley. Por ejemplo, tomemos el función cuadrada $$S^2 f(x_0) = \int_{\Gamma(x_0)} |t \sqrt{\Delta} e^{-t \sqrt{\Delta}} f(x)|^2 \frac{dx dt}{t^n}$$ donde $\Gamma(x_0):= \{(x,t):|x-x_0| \le t\}$ con vértice en $x_0 \in \mathbb{R}^{n-1}$ y el función maximal no tangencial $u^*(x_0) := \sup\{e^{-t \sqrt{\Delta}}f (x): (x,t) \in \Gamma(x_0)\}$ . Entonces podemos demostrar que $\|u^*\|_{L^p(\mathbb{R}^{n-1})}$ y $\|S(f)\|_{L^p(\mathbb{R}^{n-1})}$ son equivalentes, y $\|u^*\|_{L^p(\mathbb{R}^{n-1})}$ puede controlarse mediante $\|f\|_{L^p(\mathbb{R}^{n-1})}$ . Esto tiene implicaciones (¡otra vez!) para los problemas de valor límite, pero también es un concepto interesante para estudiar por sí solo.

Por último, en su forma discreta:

• He oído que tiene aplicaciones en el juego del Cricket ;-P

Nota : He convertido esto en una wiki comunitaria. Por favor, siéntase libre de corregir cualquier error, erratas, etc.

Answer 5

Esto es un testimonio más que una respuesta. A principios de los ochenta, empecé a estudiar el límite no viscoso en sistemas de leyes de conservación. Se trata de EDE (ecuaciones diferenciales parciales) con variables temporales y espaciales. El sistema viscoso es de segundo orden en el espacio, mientras que el no viscoso es sólo de primer orden. Un ejemplo típico es Navier-Stokes vs Euler, para un fluido compresible. En presencia de una frontera, el sistema viscoso debe complementarse con una condición de frontera completa, por ejemplo la condición de Dirichlet $u=u_b$ (con $u(t,x)\in\mathbb R^n$ el vector desconocido). Por el contrario, el sistema no viscoso necesita un número de condiciones de contorno igual al número $p$ de modos de entrada y tenemos en general $p< n$ . Por lo tanto el límite, a medida que los coeficientes del tensor viscoso tienden a cero, es singular: aparece un capa límite .

El primer resultado (suponiendo que la frontera no es característica) en esta dirección se estableció en la tesis doctoral de mi alumno M. Gisclon. La desigualdad de Hardy (con $p=2$ ) fue crucial en la prueba. Desde entonces, este trabajo ha sido ampliado en muchas direcciones por varios autores.

Pido disculpas por ser un poco tópico, por no decir técnico.