Encontraste $1+z^2=xy-yzzx+z^2=(y-z)(x-z)$
Del mismo modo para $1+x^2$ obtienes $(x-z)(x+y)$
Y para $1+y^2$ obtienes $(y-z)(x+y)$
Por lo tanto, puede sustituir:
\begin{align} P= \frac{2x^2}{1+x^2} -\frac{2y^2}{1+y^2}+\frac{3z^2}{1+z^2}\end{align}
con
\begin{align} P = \frac{2x^2}{(x-z)(x+y)} -\frac{2y^2}{(y-z)(x+y)}+\frac{3z^2}{(y-z)(x-z)}\end{align}
Con un poco de manipulación del numerador se puede tener $$\frac{2x^2}{(x-z)(x+y)} \to \frac{2(x^2 + 1) - 2}{(x-z)(x+y)} \to \frac{2((x-z)(x+y)) - 2}{(x-z)(x+y)} \to 2 - \frac{2}{(x-z)(x+y)}$$
$$\frac{2y^2}{(y-z)(x+y)} \to \frac{2(y^2 + 1) - 2}{(y-z)(x+y)} \to \frac{2((y-z)(x+y)) - 2}{(y-z)(x+y)} \to 2 - \frac{2}{(y-z)(x+y)}$$
$$\frac{3z^2}{(y-z)(x-z)} \to \frac{3(z^2 + 1) - 3}{(y-z)(x-z)} \to \frac{3((y-z)(x-z)) - 3}{(y-z)(x-z)} \to 3 - \frac{3}{(y-z)(x-z)}$$
A ver si puedes continuar desde aquí... esta pregunta es un poco tediosa y te pide que reduzcas las formas a un valor numérico. Ten en cuenta que cada vez que te encuentres con un puesto, sustituye cualquier valor numérico por $(xy-yzzx)$ hasta su reducción a un simple numérico u obtener una identidad. Por ejemplo,
$2 - \frac{2}{(y-z)(x+y)} \to 2(xy-yzzx) - \frac{2(xy-yzzx)}{(y-z)(x+y)}$
De esta forma puedes intentar reducir las posibilidades de entrar en pérdida (o evitar entrar en pérdida y, con un poco de suerte, deducir un valor).
