Problema de relación de equivalencia

Question

Sea $S$ sea la relación sobre $\mathbb{N} \times \mathbb{N}$ definido por $(a,b)S(c,d)$ sólo si $ad=bc$ . Demuestre que se trata de una relación de equivalencia en $\mathbb{N} \times \mathbb{N}$ .

Creo que he encontrado que esto es reflexivo y simétrico, pero estoy atascado en la transitividad. Puede alguien comprobar mi trabajo hasta ahora y ayudar con la prueba de transitividad?

Reflexivo: Que $(x,y)S(x,y)$ . Entonces $xy = yx$ . Así que $S$ es reflexivo. Simétrica: Supongamos que $(a,b)S(c,d)$ . Entonces, $ad = bc$ . Por lo tanto, $da = cb$ y $cb = da$ . Por lo tanto, $(c,d)S(a,b)$ . Así, $S$ es simétrica. Transitiva: Supongamos que $(a,b)S(b,c)$ . Entonces $ac = bb$ .

Aquí es donde estoy atascado. ¿Alguna idea?

Answer 1

Tu problema es que estás comparando las cosas equivocadas. Quieres demostrar que si $(a,b),(c,d),(e,f) \in N\times N$ y $(a,b)S(c,d)$ y $(c,d)S(e,f)$ entonces $(a,b)S(e,f)$ .

Answer 2

Sea $(x,y)S(x,y)$ . Entonces $xy=yx$ . Así que $S$ es reflexivo.

Su lógica aquí es al revés. De la forma en que lo tienes, estás asumiendo que $(x,y)S(x,y)$ cuando en realidad eso es lo que se supone que debes mostrar. Lo que deberías decir es algo como esto:

Sea $(x,y)\in\Bbb N\times\Bbb N$ . Entonces $xy=yx$ Así que $(x,y)S(x,y)$ Ya que $(x,y)$ era un elemento arbitrario de $\Bbb N\times\Bbb N$ , $S$ es reflexivo.

Su argumento a favor de la simetría de $S$ por otro lado, está bien.

Para la transitividad es necesario que $(a,b),(c,d),(e,f)\in\Bbb N\times\Bbb N$ sea tal que $(a,b)S(c,d)$ y $(c,d)S(e,f)$ y a partir de ahí quieres demostrar que $(a,b)S(e,f)$ . Su hipótesis le dice que $$ad=bc\tag{1}$$ y $$cf=de\tag{2}\;,$$ y quieres demostrar que $af=be$ . ¿Qué ocurre si se multiplican juntas las ecuaciones $(1)$ y $(2)$ ; ¿puede entonces utilizar el hecho de que su $\Bbb N$ no incluye $0$ para deducir que $af=be$ ?

Answer 3

En lugar de utilizar la definición habitual para una relación de equivalencia, permítanme intentar aplicar la definición alternativa que descubrí hace poco; véase ¿Es conocida, útil, utilizada esta definición alternativa de "relación de equivalencia"?

Todas las variables de esta respuesta abarcan los números naturales distintos de cero: si se permite el cero, entonces $\;S\;$ no es una relación de equivalencia.

---

Debemos demostrar que $\;S\;$ es una relación de equivalencia, es decir --utilizando la definición alternativa y aplicándola a pares ordenados-- que para cada $\;a,b,c,d\;$ $$ (a,b)S(c,d) \;\;\equiv\;\; \langle \forall x,y :: (a,b)S(x,y) \;\equiv\; (c,d)S(x,y) \rangle $$ Ampliar la definición de $\;S\;$ esto equivale a $$ (0)\;\;\;ad=bc \;\;\equiv\;\; \langle \forall x,y :: ay=bx \;\equiv\; cy=dx \rangle $$ Parece razonable intentar simplificar el lado derecho al lado izquierdo. Calculamos: \begin{align} & \langle \forall x,y :: ay=bx \;\equiv\; cy=dx \rangle \\ \equiv & \;\;\;\;\;\text{"divide left hand side by $\;a\;$ and right hand side by $\;c\;$} \\ & \;\;\;\;\;\phantom{"}\text{-- this gives us a bare $\;y\;$ which we can use in the next step"} \\ & \langle \forall x,y :: y=bx/a \;\equiv\; y=dx/c \rangle \\ \equiv & \;\;\;\;\;\text{"logic: using rule $(1)$ below"} \\ & \langle \forall x :: bx/a = dx/c \rangle \\ \equiv & \;\;\;\;\;\text{"divide by $\;x\;$; leave out now-superfluous $\;\forall x\;$; multiply by $\;ac\;$"} \\ & bc = da \\ \end{align} Nótese cómo todas las divisiones estaban permitidas porque nuestro dominio no contiene cero.

Ahora hemos demostrado $(0)$ lo que completa la prueba.

---

Tenga en cuenta que la regla $$ (1)\;\;\; \langle \forall y :: y = p \;\equiv\; y = q \rangle \;\;\equiv\;\; p = q $$ tiene una demostración muy sencilla: para $\;\Rightarrow\;$ toma $\;y := p\;$ y $\;\Leftarrow\;$ es sólo la regla de Leibniz.