Me encuentro con un problema al resolver su desigualdad triangular. En el caso de los puntos colineales igualdad se mantiene, pero lo que sucede si los puntos no son colineales.
Respuesta
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Para tres puntos $x,y,z \in \mathbb{R}^2$ debe demostrar que $$d(x,y) \le d(x,z)+d(y,z)$$ Aplicando su métrica, nos da $$\sqrt{(x_1-x_2)^2+(y_1-y_2)^2} \le \sqrt{(x_1-x_2)^2+(z_1-z_2)^2} + \sqrt{(y_1-y_2)^2+(z_1-z_2)^2}$$ Sea $\Delta x := x_1-x_2$ , $\Delta y := y_1-y_2$ y $\Delta z := z_1-z_2$ . Tenemos que demostrar que $$\sqrt{(\Delta x)^2+(\Delta y)^2} \le \sqrt{(\Delta x)^2+(\Delta z)^2} + \sqrt{(\Delta y)^2+(\Delta z)^2}$$
Como tanto el lado izquierdo como el derecho son no negativos, podemos elevar ambos lados al cuadrado sin preocuparnos por la desigualdad: $a \le b \iff a^2 \le b^2$ para todos $a,b \ge 0$ . Esto da $$(\Delta x)^2+(\Delta y)^2 \le (\Delta x)^2+(\Delta z)^2 + 2\sqrt{(\Delta x)^2+(\Delta z)^2}\sqrt{(\Delta y)^2+(\Delta z)^2} + (\Delta y)^2+(\Delta z)^2$$ $$0 \le 2(\Delta z)^2 + 2\sqrt{(\Delta x)^2+(\Delta z)^2}\sqrt{(\Delta y)^2+(\Delta z)^2}$$ Debe quedar claro que esta desigualdad final es cierta para todo $\Delta x$ , $\Delta y$ y $\Delta z$ .
