una ecuación en diferencias de segundo orden relacionada con un polinomio real que parece tener sólo raíces reales

Question

Busco soluciones a la siguiente ecuación en diferencias: $$2c_k-c_{k-1}-c_{k+1}=\ln(k+A)-\ln(k+B)$$ donde $A>B>0$ .

Esta ecuación está relacionada con un polinomio real (ver aquí) que quiero demostrar que sólo tiene raíces reales.

Los polinomios relacionados se definen mediante las relaciones recursivas para los coeficientes $b_k>0$ como se define a continuación: $$p_{n}(x)=\sum_{k=0}^{n}\binom{2n}{2k}b_k x^k$$ $$\frac{b_k^2}{b_{k-1}b_{k+1}}=1+\frac{\pi}{31(k+1/2)}=\frac{k+A}{k+B}>1$$

Así que $$2{c_k}-{c_{k-1}}-{c_{k+1}}=2\ln{b_k}-\ln{b_{k-1}}-\ln{b_{k+1}}=\ln(k+A)-\ln(k+B)$$

Estos polinomios aparecieron cuando intentamos encontrar una aproximación polinómica a los polinomios de Jensen asociados a Riemann $\xi(z)$ función.

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G. Csordas, T. S. Norfolk y R. S. Varga, The Riemann Hypothesis and the Turán Inequalities, Transactions of the American Mathematical Society, Vol. 296, No. 2 (Ago., 1986), pp.521-541

T. Craven, G. Csordas; Polinomios de Jensen y las desigualdades de Turan y Laguerre. Pacific J. Math., 136 (2) (1989), pp. 241-260

Gracias- Mike

Answer 1

$$c_k-2c_{k-1}+c_{k-2}=\ln(\frac{k-1+b}{k-1+a})$$

Sea $b_k=c_k-c_{k-1}$ . Entonces tenemos la relación $$b_k-b_{k-1}=\ln(\frac{k-1+b}{k-1+a}).$$ Así obtenemos
$$b_k=b_1+\ln(\prod_{i=1}^{k-1}\frac{i+b}{i+a})$$

Entonces debemos resolver el relatón $$c_k-c_{k-1}=b_1+\ln(\prod_{i=1}^{k-1}\frac{i+b}{i+a})$$ Así que $$c_k=c_1+kb_1+\ln(\prod_{i=1}^{k-1}\prod_{j=1}^{i}\frac{j+b}{j+a})$$

¿Quieres encontrar una solución así? Y no sé la relación entre esto y la pregunta que has hecho.