¿Por qué una serie de Taylor no converge siempre?

Question

La propia expansión de Taylor puede derivarse de los teoremas del valor medio, que a su vez son válidos en todo el dominio de la función. Entonces, ¿por qué la serie de Taylor no converge en todo el dominio? Entiendo la parte de la convergencia de las series infinitas y las diversas pruebas. Pero parece que me falta algo muy fundamental aquí..

Answer 1

Es bastante desafortunado que en calc II enseñemos a Taylor serie al mismo tiempo que enseñamos a Taylor polinomios En el proceso, parece que enseñamos a los estudiantes que las series de Taylor son mucho más morales que las series finitas. En el proceso parece que enseñamos a los estudiantes que las series de Taylor son una herramienta mucho más poderosa de lo que son, y que los polinomios de Taylor son una herramienta mucho menos poderosa de lo que son.

La idea principal es realmente el polinomio de Taylor finito. La serie de Taylor no es más que un límite de estos polinomios, ya que el grado tiende a infinito. El polinomio de Taylor es una aproximación a la función basada en su valor y un cierto número de derivadas en un punto determinado. Las fórmulas del resto nos hablan del error de esta aproximación. En particular, nos dicen que los polinomios de mayor grado proporcionan mejores aproximaciones locales a una función.

Pero la cuestión es que lo que significa "local" depende realmente del grado $n$ . Observando el resto de Lagrange, el error en una aproximación de grado $n$ es

$$\frac{f^{(n+1)}(\xi_n) (x-x_0)^{n+1}}{(n+1)!}$$

donde $\xi_n$ está entre $x_0$ y $x$ . Por lo tanto, la relación de los errores entre el paso $n$ y paso $n-1$ es*

$$\frac{f^{(n+1)}(\xi_n) (x-x_0)}{f^{(n)}(\xi_{n-1}) (n+1)}$$

donde de forma similar $\xi_{n-1}$ está entre $x$ y $x_0$ . Por lo tanto, el error es menor cuando esta cantidad es menor que $1$ . De esta forma podemos ver que podemos elegir $x$ lo suficientemente cerca de $x_0$ para garantizar que esta cantidad es inferior a $1$ ya que para los fijos $n$ tenemos algo acotado tiempos $x-x_0$ . Pero si

$$\frac{f^{(n+1})(\xi_n)}{f^{(n)}(\xi_{n-1})} > \frac{n+1}{x-x_0}$$

entonces la aproximación de grado $n$ será peor que la aproximación de grado $n-1$ en $x$ . Si esto sigue ocurriendo una y otra vez, entonces no hay esperanza de que la serie de Taylor converja a la función original en ningún lugar, excepto en el punto de expansión. En otras palabras, si las derivadas cerca de $x_0$ ( no necesariamente sólo en $x_0$ ) crecen demasiado rápido con $n$ entonces la expansión de Taylor no tiene ninguna esperanza de éxito, incluso cuando las derivadas necesarias existen y son continuas.

*Aquí estoy asumiendo técnicamente que $f^{(n)}(\xi_{n-1}) \neq 0$ . Esta suposición puede fallar incluso cuando $f$ no es un polinomio; considere $f=\sin,x_0=\pi/2,n=1$ . Pero esta es una situación "degenerada" en cierto sentido.

Answer 2

Una de las razones intuitivas es que al trabajar con funciones de argumento real no nos importan sus singularidades en el plano complejo. Sin embargo, éstas restringen el dominio de convergencia.

El ejemplo más sencillo es la función $$f(x)=\frac{1}{1+x^2},$$ que puede expandirse en series de Taylor en torno a $x=0$ . El radio de convergencia de esta serie es igual a $1$ a causa de los polos $x=\pm i$ de $f$ en el plano complejo de $x$ .

Answer 3

La expansión de Taylor no se deriva del teorema del valor medio. La expansión de Taylor es una definición válida para cualquier función que sea infinitamente diferenciable en un punto. Las distintas formas del resto se derivan de varias maneras. Por definición, la función resto es $R(x)=f(x) - T(x)$ donde $f$ es la función dada y $T$ es su expansión de Taylor (sobre algún punto). No hay ninguna garantía a priori de que la expansión de Taylor dé algún valor remotamente relacionado con el valor de la función, salvo en el punto de expansión. Las distintas formas del resto pueden utilizarse para obtener límites en el error que, a su vez, pueden utilizarse para mostrar la convergencia en alguna región, pero no hay ninguna razón a priori para esperar límites bien definidos. Simplemente se tiene una fórmula para el resto. El resto puede seguir siendo grande. Por supuesto, la existencia de ejemplos bien conocidos en los que la expansión de Taylor realmente no aproxima la función en absoluto muestran que es inútil esperar milagros.