Ejemplo de puntos conjugados con una sola geodésica de conexión

Question

$\newcommand{\ga}{\gamma}$ $\newcommand{\al}{\alpha}$

Me gustaría encontrar un ejemplo para una colector Riemanniano, que tiene dos puntos conjugados $p,q$ con una sola geodésica de conexión entre ellas.

(Esta es la geodésica a lo largo de la cual se conjugan)

Explicación:

Consideremos una familia parametrizada de geodésicas que parten de un punto fijo $p$ es decir

$\ga_s(t)=\ga(t,s), \ga_s(0)=\ga_0(0)=p$ donde para cada $s$ el camino $t \to \ga_s(t)$ es una geodésica en $M$ .

Entonces $J(t)= \frac{\partial \ga}{\partial s}(t,0)$ es un campo de Jacobi, a lo largo de la geodésica $\ga_0$ .

Además, todo campo de Jacobi puede realizarse a partir de tal variación de geodésicas.

Por definición, si $p,q$ son conjugadas a lo largo de alguna geodésica $\al$ existe un campo de Jacobi distinto de cero a lo largo de $\ga$ que desaparece en $p,q$ . Esto significa que hay cierta variación $\ga(t,s)$ de $\al$ ( $\ga_0=\al$ ) donde $J(t)= \frac{\partial \ga}{\partial s}(t,0)$ .

Supongamos que $\al(t_0)=q$ . Entonces $0=J(t_0)= \frac{\partial \ga}{\partial s}(t_0,0)$ por lo que se puede decir que " $\gamma_s(1)$ es el punto $q$ sólo hasta primer orden en $s$ ", pero no podemos concluir que exista una $s \neq 0$ tal que $\ga_s(t_0)=q$ .

(Por supuesto, si supiéramos que $\ga_s(t_0)=q$ para todos $s \in (\epsilon,\epsilon)$ esto implicaría $J(t_0)=0$ pero no viceversa).

En el lenguaje de wikipdeia :

"Por tanto, si dos puntos son conjugados, no es necesario que existan dos geodésicas distintas que los unan"

Answer 1

Un ejemplo aquí debería bastar: http://arxiv.org/pdf/math/0211091.pdf . Mira en las tres primeras páginas más o menos. Básicamente un paraboloide es un ejemplo. Elige $p$ y viajar a lo largo del meridiano. Si rastreas las geodésicas minimizadoras uniendo $p$ hasta el punto que te encuentres en tu viaje, verás que al principio sólo hay una y luego, en algún momento, esa única geodésica mínima se bifurca en dos. El punto de bifurcación es lo que estás buscando. Tal vez sea más fácil imaginar el cono $z^2 = x^2 + y^2$ como ejemplo singular de este fenómeno de bifurcación. En él, el punto de bifurcación se identifica fácilmente como el vértice.

Todo el artículo al que he enlazado está dedicado a analizar en profundidad cuándo se produce este fenómeno.