Probabilidades - Semáforos

Question

Una persona pasa por tres intersecciones controladas por semáforos. La ubicación y el funcionamiento de estos semáforos es tal que, a todos los efectos, parecen funcionar de forma independiente para una persona que viaja de uno a otro. La probabilidad de luz roja es $0.4$ , $0.8$ et $0.5$ respectivamente para cada uno de los semáforos.

(a) Encuentre la función de probabilidad de $X$ el número de semáforos en rojo que la persona se encuentra en un solo viaje.

(b) Calcule la media de $X$ .

(c) Supongamos que el tiempo de espera para cada semáforo en rojo es de dos minutos. ¿Cuál es el tiempo medio de espera en un viaje?

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Lo que tengo hasta ahora:

$P(R1)=0.4$

$P(R2)=0.8$

$P(R3)=0.5$

$P(X=3)=0.4*0.8*0.5=0.16$

$P(X=0)=1-P(X=3)=1-0.16=0.84$

Answer 1

Parte (a):

Para facilitar la notación, digamos $u = 0.4,\;\;v = 0.8,\;\;w=0.5$ .

\begin{align*} P(X=0)=\;&(1-u)(1-v)(1-w) = .06\\[4pt] P(X=1)=\;&u(1-v)(1-w)+(1-u)v(1-w)+(1-u)(1-v)w= .34\\[4pt] P(X=2)=\;&(1-u)vw+u(1-v)w+uv(1-w)= .44\\[4pt] P(X=3)=\;&uvw=.16\\[4pt] \end{align*} Parte (b):

La media de $X$ es $$0 \cdot P(X=0) + 1\cdot P(X=1)+2\cdot P(X=2)+3\cdot P(X=3) = 1.7\;\text{minutes}$$ Parte (c):

Supongamos que cada luz roja dura $2$ minutos . Entonces, por término medio, si un semáforo está en rojo, el tiempo de espera para ese semáforo es de $1$ minuto (la mitad de $2$ ).

Por lo tanto, el tiempo medio de espera será $$u\cdot 1+v\cdot 1 + w\cdot 1 = 1.7\;\text{minutes}$$

Answer 2

Como sólo tenemos 3 luces con probabilidades de luz roja $p_1, p_2$ y $p_3$ la solución parece fácil

$$P(X=0)=\prod\limits_{i=1}^3 (1-p_i)\\ P(X=1)=\sum\limits_{i=1}^3p_i\prod\limits_{k\neq i} (1-p_k)\\ P(X=2)=\sum\limits_{i=1}^3(1-p_i)\prod\limits_{k\neq i} p_k\\ P(X=3)=\prod\limits_{i=1}^3 p_i$$

Tenga en cuenta que es no es cierto que $P(X=0)=1-P(X=3)$

Como tienes estas probabilidades, puedes calcular fácilmente el valor medio de $X$

El tiempo medio de espera puede calcularse mediante esta fórmula:

$$T=\sum\limits_{i=1}^3 (t_ip_i + 0(1-p_i))$$ donde $t_{i}$ es el tiempo de espera en $i$ La luz.