Estabilidad de una cola GI/G/1 con $\rho=1$ ?

Question

El teorema final del capítulo 19 de la obra de Meyn y Tweedie Cadenas de Markov y estabilidad estocástica nos dice que si el tiempo medio entre llegadas $\lambda$ de una cola GI/G/1 es mayor que su tiempo medio de servicio $\mu$ entonces la cola es Harris positivo recurrente.

Pregunta : ¿Qué resultados de estabilidad se conocen para una cola GI/G/1 de tiempo continuo para la que $\lambda=\mu$ y en el que las varianzas de las variables aleatorias tiempo entre llegadas y tiempo de servicio son positivas? ¿Se sabe que una cola de este tipo no puede ser recurrente positiva de Harris? ¿Regular?

La función de Lyapunov utilizada en Meyn-Tweedie, que es un tiempo de impacto esperado, no va a funcionar para $\lambda=\mu$ .

Busqué en la obra de Morozov y Delgado encuesta en el que se afirma que "las condiciones de estabilidad de la cola clásica GI/G/m son bien conocidas", y en otros estudios, pero no se ha encontrado ninguna mención al $\lambda=\mu$ caso allí.

Answer 1

Después de investigar un poco he encontrado la respuesta; esencialmente contenida en el comentario de cardenal. Por favor, hágamelo saber si tiene algo que añadir.

Para el proceso Lindley $Z_{n+1} = \max(0, Z_n+ U_n)$ con $\rho=1$ , parece que se conocen dos resultados:

1. $\frac{Z_n}{\sqrt{n}}$ converge a una variable aleatoria normal con media $0$ y varianza $\sigma^2=\mathrm{Var}(U_n)$ donde $\sigma\in(0,\infty)$ . Esto se encuentra en Billingsley, capítulo 2, citado de forma ligeramente inexacta en Asmussen (condición $\sigma>0$ omitida), Proposición X.1.2.
2. El tiempo esperado del primer golpe es 1 si el tiempo entre llegadas es igual al tiempo de servicio con probabilidad 1 (`caso determinista'), y es infinito en caso contrario. Esto es en Kalashnikov, Métodos matemáticos en teoría de colas Apartado 5.3.3. Se menciona de forma ligeramente inexacta en Asmussen, Proposición X.1.3.