La imagen de un módulo superfluo es superflua

Question

Sea $f$ sea un homomorfismo entre dos módulos $M$ y $N$ .

Si $K$ es superfluo en $M$ ( $K$ superfluo significa que si $K+L=M$ entonces $L=M$ ), entonces $f(K)$ es superfluo en $N$ .

La prueba que encontré, pero que no entiendo:

Considere algunos $H$ submódulo en $N$ tal que $f(K)+H =N$ . Entonces $f^{-1}(H) + K = M$ y así $f^{-1}(H)=M$ . Por lo tanto $H$ contiene la imagen de $f$ y, en particular, en contiene $f(K)$ Así que $H=N$ .

Lo que no entiendo es cómo $f^{-1}(H) + K = M$ se deduce de $f(K)+H = N$ . Sólo veo que $f^{-1}(f(K)) + f^{-1}(H)=M$ .

Answer 1

Es sólo perseguir elementos. Tal vez si lo escribo de esta manera:

En primer lugar, tenga en cuenta que $f(K)+H=N\implies f^{-1}(f(K)+H)=f^{-1}(N)=M $ .

Ahora afirmamos que $f^{-1}(f(K)+H) =f^{-1}(H)+K$ .

La contención $\supseteq$ es obvio.

Supongamos ahora que $x$ está en el lado izquierdo. Sabemos que $f(x)=f(k)+h$ para algunos $k\in K$ , $h\in H$ .

Eso implica $f(x-k)=h\in H$ Así que $x-k\in f^{-1}(H)$ . Por lo tanto $x\in f^{-1}(H)+K$ . La contención $\subseteq$ se ha demostrado.