$\mathbb{S} = \{MX - XM \mid X \in \mathbb{R}^{n\times n}\}$ da $\dim \mathbb{S} \leq n^{2} - n$

Question

Fijar $M\in\mathbb{R}^{n\times n}$ y definimos el espacio vectorial \begin{align*} \mathbb{S} = \left\{MX - XM \mid X \in \mathbb{R}^{n\times n}\right\}. \end{align*} Demuestra que $\dim \mathbb{S} \leq n^{2} - n$ .

Answer 1

Esquema de la prueba: Definir el mapa lineal $T:\Bbb C^{n \times n} \to \Bbb C^{n \times n}$ por $T(X) = MX - XM$ . Vemos que $\ker(T) = \{X \mid MX = XM\}$ . Por ce poste o ce poste vemos que $\dim \ker (T) \geq n$ . Por el teorema de rango-nulidad, tenemos $$ \dim(\Bbb S) = \dim(\operatorname{im(T)}) = n^2 - \dim \ker(T) \leq n^2-n $$ como desee.