Dado $A$ es un $n\times n$ matriz, y $f: R\rightarrow R^n$ es continua y acotada.
(a) Si $A$ no tiene valores propios en el eje imaginario, demuestre que $\dot{x} = Ax + f(t)$ tiene una solución única acotada en $R$ .
(b) Demuestre el contraejemplo a (a) cuando $A$ tiene valores propios en el eje imaginario.
Mi intento: (a) Puesto que $A$ no tiene valores propios en el eje imaginario, $A$ es infinitesimalmente hiperbólica. Por un teorema bien conocido, podemos reescribir una forma canónica de Jordan $J$ de $A$ tal que $J = [A_s\ 0, 0\ A_u]^T$ donde los valores propios de la matriz $A_s$ tienen todas partes reales negativas y valores propios de $A_u$ todos tienen partes reales positivas. Entonces la EDO dada es equivalente a: $\dot{x} = PJP^{-1}x + f(t)$ donde $P$ es una matriz cuyas columnas son los vectores propios asociados a cada uno de los valores propios de $A_s, A_u$ en el mismo orden.
Mi pregunta es: ¿cómo demostrar que $PJP^{-1}$ transforma $A$ en 2 matrices en bloque: una con todos los valores propios con parte real positiva y otra con todos los valores propios con parte real negativa?
(b) No he podido conseguirlo, a pesar de pasar varias horas intentando encontrar $A$ para que las soluciones tengan efecto de resonancia. ¿Puede alguien reflexionar sobre este tema?
