¿Prueba de hipótesis para la diferencia de diferencias de proporciones?

Question

Sé cómo realizar una prueba de la diferencia entre dos proporciones. Esto es un nivel más complejo que eso. Tengo un experimento en el que los participantes (hombre o mujer) son asignados aleatoriamente a la condición A o la condición B. Luego tienen la posibilidad de tomar una decisión, que podemos llamar Sí o No.

La pregunta de cuánto afecta la condición (A vs. B) la probabilidad de una decisión Sí/No es central para el estudio. Es una situación muy marcada por el género, por lo que la diferencia de género (si la hay) en la medida en que la condición A/B afecta la decisión Sí/No es importante.

Estoy imaginando una métrica: Diferencia en la proporción que dice 'Sí' para la condición A versus la condición B. Así que hay dos proporciones, ahí.

Para terminar: Estoy específicamente interesado en las diferencias de género para esta métrica.

En otras palabras, creo que lo que quiero saber es:

[Hombres p(Y | A) vs p(Y | B)] comparado con [Mujeres p(Y | A) vs p(Y | B)]

Entonces... ¿comparación de dos diferencias de proporción? ¿Diferencia en diferencias? ¿Proporción de proporciones? Esto es más complicado que una prueba de dos proporciones, y estoy seguro de que está lleno de posibles problemas. ¿Existe un procedimiento conocido para esto?

Answer 1

Supongamos que nuestro modelo en la escala de registros de probabilidades, permitiendo interacciones entre sexo y condición, es

$$\log \left( \dfrac{p}{1-p} \right) = \beta_0 + \beta_1 I(\mbox{sexo = masculino}) + \beta_2I(\mbox{Condición = B}) + \beta_3 I(\mbox{Sexo = masculino y Condición = B)}$$

Desde aquí, es fácil ver que $\beta_3$ es el coeficiente que determina si hay una diferencia de sexo en el efecto de la condición, pero vamos a través de los detalles para asegurarnos de que esto es correcto de todos modos. El predictor lineal para cada una de las cuatro condiciones de Masculino/Femenino y A/B es

• Femenino con condición A

$$= \beta_0$$

• Femenino con condición B

$$= \beta_0 + \beta_2$$

• Varón con condición A

$$= \beta_0 + \beta_1$$

• Varón con condición B

$$= \beta_0 + \beta_1 +\beta_2 + \beta_3$$

La diferencia para las mujeres entre las condiciones es entonces

$$= \beta_2$$

La diferencia para los hombres entre las condiciones es

$$= \beta_2 + \beta_3$$

y la diferencia de las diferencias es entonces

$$= \beta_3$$

Por lo tanto, en realidad sólo necesitas la prueba de hipótesis para el coeficiente de $\beta_3$.