La acotación uniforme de la torsión para las curvas elípticas (Mazur-Merel) y para las variedades abelianas (conjetura) es análoga a la conjetura dinámica sobre la acotación uniforme de los puntos preperiódicos que hicimos Morton y yo y que usted ha enunciado. Un resultado interesante y no trivial de Fakhruddin dice que nuestra conjetura para $\mathbb P^N$ implica la acotación uniforme de los puntos de torsión en variedades abelianas de cualquier dimensión fija. Pero nótese que (AFAIK) no se sabe que Lang-Vojta implique acotación uniforme de la torsión en variedades abelianas.
La conjetura de Lang-Mordell, demostrada por Faltings, tiene que ver con la intersección de un subgrupo finitamente generado $\Gamma$ de una variedad abeliana $A$ con una subvariedad $Y\subseteq A$ . También existen análogos dinámicos conjeturales de Lang-Mordell. Aquí está la declaración habitual:
Conjetura dinámica de Lang-Mordell Sea $f:X\to X$ sea un morfismo de una variedad (definida sobre $\mathbb C$ ), sea $P\in X$ sea un punto, y sea $Y\subseteq X$ sea una subvariedad. Entonces el conjunto $$ \{n\ge0 : f^n(P)\in Y\}\qquad (*) $$ es la unión de un conjunto finito y una unión finita de progresiones aritméticas unilaterales.
Es bastante fácil formular una versión uniforme de esta conjetura, por ejemplo, dejemos que $X=\mathbb P^N$ , dejemos que $f$ y $P$ definido sobre un campo numérico de grado fijo, sea $f$ tienen un grado fijo, entonces el número de progresiones (incluidas las de un solo punto) en $(*)$ está acotada independientemente de $f$ y $P$ . Uno podría entonces intentar probar tal resultado a partir de Lang-Vojta; pero un primer problema es que (de nuevo AFAIK), no hay resultados generales que digan que Lang-Vojta puede usarse para probar que la Conjetura Dinámica de Lang-Mordell es cierta para, digamos, todos los mapas de grado 2 en $\mathbb P^N$ con todo definido sobre $\mathbb Q$ . En otras palabras, no está claro cómo utilizar Lang-Vojta para demostrar incluso un Lang-Mordell Dinámico no uniforme.
Finalmente, para responder a tu última pregunta, la conjetura general ciertamente no puede analizarse utilizando curvas modulares dinatómicas, ya que éstas parametrizan familias de mapas de 1 parámetro de $\mathbb P^1$ . Pero si quisieras probar un límite uniforme para, digamos, todo $x^2+c$ serían un buen punto de partida.
