Dado que el $f(4x)-f(3x)=2x$ y $f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}$ es una función creciente, encontrar $f(x)$. Mis pensamientos hasta el momento: subtituting $\frac{3}{4}x$, $\left(\frac{3}{4}\right)^2x$, $\left(\frac{3}{4}\right)^3x$, $\ldots$, tenemos que: $$f(4x)-f(3x)=2x$$ $$ f\left(4\cdot\frac{3}{4}x\right)-f\left(3\cdot\frac{3}{4}x\right)=2\cdot\frac{3}{4}x $$ $$ f\left(4\cdot\left(\frac{3}{4}\right)^2x\right)-f\left(3\cdot\left(\frac{3}{4}\right)^2x\right)=2\cdot\left(\frac{3}{4}\right)^2 $$ $$ f\left(4\cdot\left(\frac{3}{4}\right)^3x\right)-f\left(3\cdot\left(\frac{3}{4}\right)^3x\right)=2\cdot\left(\frac{3}{4}\right)^3 $$ $$\ldots$$ A continuación, tenga en cuenta que después de la adición de todas estas ecuaciones obtenemos: $$ f(4x)=\sum_{k=0}^{\infty}\left(\frac{3}{4}\right)^k2x $$ Y esta serie converge, obviamente, a $8x$. Sustituyendo $\frac{1}{4}x$ obtenemos: $$ f(x)=2x. $$ Es esto correcto? ;)
Respuesta
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Es casi correcta. Usted está en lo correcto que se puede deducir que $$f(4x)=f(3x)+2x$$ y en varias ocasiones la aplicación de este obtenemos $$f(4x)=f\left(4\left(\frac{3}4\right)^kx\right)+\sum_{n=0}^{k-1}2\left(\frac{3}4\right)^{n}x$$ Usted comete un error en el paso siguiente, sin embargo. Te refieres a que tome un límite de $k$ va al infinito, pero a este incorrectamente. En particular, la expresión correcta sería: $$f(4x)=\lim_{k\rightarrow\infty}f\left(4\left(\frac{3}4\right)^kx\right)+8x$$ donde tenemos un plazo de $\lim_{k\rightarrow\infty}f\left(4\left(\frac{3}4\right)^kx\right)$ que se omite; en particular, este puede ser cualquier constante, y la constante puede ser diferente para los números positivos y negativos. No obstante, existen desde $f$ es cada vez mayor. Por lo tanto, las soluciones son de la forma: $$f(x)=\begin{cases}2x+c_1&&\text{if }x>0\\c_2&&\text{if }x=0\\2x+c_3&&\text{if }x<0\end{cases}$$ para algunas constantes $c_1\geq c_2 \geq c_3$.
