¿Hay alguna forma de encontrar el valor de esta integral?

Question

Estoy intentando resolver esta integral a mano y aquí están mis pasos para hacerlo.

La integral lo es: $$A=\int_0^{2 \pi} \frac{\cos(\theta)}{\sqrt{1 - a \cos(\theta)}} d\theta$$

Usando el truco de la trigonometría: $\cos(\theta) = 1- 2 \sin\left(\frac{\theta}{2}\right)^{2}$ y el hecho de que cuando trazo el gráfico, el área de $0$ a $\pi$ es la misma que el área de $\pi$ a $2\pi$ .

Por lo tanto, $$A=2\int_0^{ \pi} \frac{\cos(\theta)}{\sqrt{1 - a \cos(\theta)}} d\theta$$

$$= 4 \int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{\cos(2t)}{\sqrt{1 - a + 2a \sin(t)^{2}}} dt$$

$$= \frac{4}{\sqrt{1-a}} \int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{1 -2 \sin(t)^{2}}{\sqrt{1 + \frac{2a}{1-a} \sin(t)^{2}}} dt$$

Establecer $x = \sqrt{\frac{2a}{1-a}} \sin(t)$

$\to dx = \sqrt{\frac{2a}{1-a}} \cos(t) dt$

$\leftrightarrow dt = \frac{1}{\sqrt{\frac{2a}{1-a}} \cos(t)} dx$

$\leftrightarrow dt = \frac{1}{\sqrt{\frac{2a}{1-a}} \sqrt{1- \sin(t)^{2}}} dx$

$\leftrightarrow dt = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} dx$

En $x = \sqrt{\frac{2a}{1-a}} \sin(t)$ :

$\sin(t) = \frac{x}{ \sqrt{\frac{2a}{1-a}}}$

$$\to A = \frac{4}{\sqrt{1-a}} \int_0^{\sqrt{\frac{2a}{1-a}}} \frac{1 - \frac{1-a}{a} x^2}{\sqrt{1+x^2} \sqrt{1-x^2}} dx$$

$$ \leftrightarrow A = \frac{4}{\sqrt{1-a}} \int_0^{\sqrt{\frac{2a}{1-a}}} \frac{1 - \frac{1-a}{a} x^2}{\sqrt{1-x^4}} dx$$

Establecer $x = u \sqrt{\frac{2a}{1-a}}$

$\to u = x \sqrt{\frac{1-a}{2a}}$

$\leftrightarrow du = \sqrt{\frac{1-a}{2a}} dx$

$$\to A = \frac{4}{\sqrt{1-a}} \sqrt{\frac{2a}{1-a}} \int_0^{1} \frac{1 - 2 u^2}{\sqrt{1- \left(\frac{2a}{1-a}\right)^2 u^4}} du$$

Realmente no sé el camino a seguir a partir de aquí. ¿Pueden ayudarme a obtener el valor de esta integral? Muchas gracias.

Answer 1

Supongamos $|a|< 1$ y explotar $$ \frac{1}{\sqrt{1-z}}=\sum_{n\geq 0}\frac{1}{4^n}\binom{2n}{n}z^n \qquad \text{for }|z|<1. $$ Esto da $$ I(a)=\int_{0}^{2\pi}\frac{\cos\theta}{\sqrt{1-a\cos\theta}}\,d\theta=\sum_{n\geq 0}\frac{a^n}{4^n}\binom{2n}{n}\int_{0}^{2\pi}\left(\cos\theta\right)^{n+1}\,d\theta $$ donde los valores pares de $n$ no contribuyen realmente a la serie. Nos quedamos con $$ I(a)=\sum_{m\geq 0}\frac{a^{2m+1}}{4^{2m+1}}\binom{4m+2}{2m+1}\int_{0}^{\pi}(\cos\theta)^{2m+2}\,d\theta=2\pi\sum_{m\geq 0}\frac{a^{2m+1}}{4^{3m+2}}\binom{4m+2}{2m+1}\binom{2m+2}{m+1} $$ donde la RHS es una función hipergeométrica relacionada con las integrales elípticas completas de primer y segundo tipo: $$ I(a) = \frac{\pi a}{2}\cdot\phantom{}_2 F_1\left(\frac{3}{4},\frac{5}{4};2;a^2\right)=\frac{4}{a\sqrt{1-a}}\left(K\left(\frac{2a}{a-1}\right)-(1-a)E\left(\frac{2a}{a-1}\right)\right).$$ Aquí $E$ y $K$ se denotan según la notación de Mathematica, por lo que su argumento es el módulo elíptico.

Para $a=\pm\frac{1}{3}$ la integral puede expresarse en términos de $\pi$ y $\Gamma\left(\frac{1}{4}\right)$ (véase el capítulo $12$ de mis notas ):

$$ I\left(\pm\tfrac{1}{3}\right) = \pm\sqrt{\frac{3}{4\pi}}\left(\Gamma\left(\tfrac{1}{4}\right)^2-\frac{(4\pi)^2}{\Gamma\left(\frac{1}{4}\right)^2}\right).$$