Esta pregunta se aplica a cualquier categoría, pero voy a utilizar los espacios vectoriales como ejemplo fácil. Supongamos que $V$ sea el espacio de vectores columna en $\mathbb R^3$ y considerar el espacio dual $V^*$ como el espacio de vectores fila en $\mathbb R^3$ . Definir dos funciones $f \colon V \to V$ y $g\colon V^* \to V^*$ dado por $$\begin{pmatrix} a \\ b \\ c \end{pmatrix} \overset{f}{\mapsto} \begin{pmatrix} 2a \\ 2b \\ 2c \end{pmatrix}$$ y $$\begin{pmatrix} a & b & c \end{pmatrix} \overset{g}{\mapsto} \begin{pmatrix} 2a & 2b & 2c \end{pmatrix}.$$ Obviamente no podemos decir que $f$ y $g$ son la misma función porque operan sobre conjuntos diferentes, pero sigue estando claro que "realizan la misma operación" sobre sus respectivos conjuntos. Dicho con más rigor, podemos decir que $V \cong V^*$ bajo el isomorfismo $\varphi\colon V \to V^*$ dado por $$\begin{pmatrix} a \\ b \\ c \end{pmatrix} \overset{\varphi}{\mapsto} \begin{pmatrix} a & b & c \end{pmatrix},$$ y entonces podemos decir que $g(\varphi(v)) = \varphi(f(v))$ y $f(\varphi^{-1}(w)) = \varphi^{-1}(g(w))$ para todos $v \in V$ y $w \in V^*$ . ¿Existe un término general para describir esta relación entre $f$ y $g$ ?
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
He aquí varias posibilidades, aunque ninguna de ellas podría utilizarse sin comentarios.
Primero, $f$ y $g$ son, de hecho, isomórficas cuando se consideran objetos de una categoría flecha . Sin embargo, sin restricciones, probablemente sea una noción más inclusiva de lo que usted desea.
A continuación, la transformación que toma $f$ a $g$ mediante el isomorfismo $V\cong V^*$ se denomina acción conjugadora . La similitud en álgebra lineal es un caso especial de esto. Por analogía, se podría decir que $g$ es un conjugado de $f$ aunque eso sería ambiguo en muchos contextos y sin duda necesitaría alguna explicación.
En la configuración particular que utilice, como se ha mencionado en el párrafo anterior, (las matrices que representan) $f$ y $g$ son similares.
En última instancia, yo me limitaría a explicar lo que quiero decir, por ejemplo " $g = \varphi\circ f\circ\varphi^{-1}$ para algún isomorfismo $\varphi$ ".
