Estoy leyendo Ambrosio's Flujos de gradiente en espacios métricos y en el espacio de medidas de probabilidad libro de texto, y estoy atascado en una parte del Lemma 8.4.2. En lugar de dar todo el Lemma, voy a indicar la afirmación específica que estoy confundido por, y voy a simplificar tomando $p = 2$ ( $p = 2$ es el único caso que me interesa), $X = \mathbb{R}^n$ (en lugar de algún otro espacio de Hilbert separable $X$ ).
Aquí $\mu$ es una medida de Borel finita sobre $X$ y $v,w$ son $L^2(\mu)$ campos vectoriales (la integral de $|v|^2$ por ejemplo $\mu$ es finito). El enunciado es el siguiente: \begin{equation*} \int_X v \cdot w \, d \mu(x) = 0 \, , \text{ for any $w \in L^2(\mu)$ s.t. $\nabla \cdot (w \mu) = 0$} \end{equation*}
es equivalente a \begin{equation*} v \text{ belongs to the $L^2(\mu)$ closure of } \{\nabla \phi \, : \, \phi \in C_c^\infty(X)\} \, . \end{equation*}
Algunas aclaraciones:
- $\nabla \cdot (w \mu) = 0$ significa que, para cualquier función de prueba $\phi \in C_b^1(X)$ , $$\int_X \nabla \phi \cdot w \, d \mu = 0 \, . $$
- La segunda afirmación significa que existe una secuencia $\{\phi_n\} \subseteq C_c^\infty(X)$ para que $$\lim_{n \to \infty} \int_X |\nabla \phi_n - v|^2 \, d \mu = 0 \, . $$
¿Por qué es cierta la equivalencia enunciada? (El libro de texto lo afirma sin justificación).
Creo que la implicación hacia atrás es clara: si podemos escribir $v = \nabla \phi$ para algunos $\phi$ entonces $\nabla \cdot (w\mu) = 0$ significa precisamente que $\int_X v \cdot w \, d \mu = 0$ .
Sin embargo, la implicación hacia adelante no me queda clara. Si $\mu$ fuera sólo la medida de Lebesgue/alguna medida absolutamente continua con respecto a Lebesgue, entonces intentaría la integración por partes (parece algo de Sobolev), pero no creo que esto esté disponible aquí No encuentro ninguna fórmula de integración por partes para medidas arbitrarias en el libro de texto.
